Номер 28.20, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.20. a) $\sin 87^\circ - \sin 59^\circ - \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$;

б) $\cos 115^\circ - \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = \sin 5^\circ$.

a) Докажем тождество: $ \sin 87^\circ - \sin 59^\circ - \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ $.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Сгруппируем слагаемые для удобства:

$ (\sin 87^\circ - \sin 93^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) $

Применим формулы приведения для первой группы слагаемых. Заметим, что $ 87^\circ = 90^\circ - 3^\circ $ и $ 93^\circ = 90^\circ + 3^\circ $. Используем следующие тригонометрические тождества:

$ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha $

$ \sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha $

Подставляя $ \alpha = 3^\circ $, получаем:

$ \sin 87^\circ = \sin(90^\circ - 3^\circ) = \cos 3^\circ $

$ \sin 93^\circ = \sin(90^\circ + 3^\circ) = \cos 3^\circ $

Теперь наше выражение принимает вид:

$ (\cos 3^\circ - \cos 3^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) = 0 + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) = \sin 61^\circ - \sin 59^\circ $

Далее, применим формулу разности синусов:

$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $

В нашем случае $ \alpha = 61^\circ $ и $ \beta = 59^\circ $:

$ \sin 61^\circ - \sin 59^\circ = 2 \cos \frac{61^\circ + 59^\circ}{2} \sin \frac{61^\circ - 59^\circ}{2} = 2 \cos \frac{120^\circ}{2} \sin \frac{2^\circ}{2} = 2 \cos 60^\circ \sin 1^\circ $

Поскольку значение $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 1^\circ = \sin 1^\circ $

Мы показали, что левая часть тождества равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество: $ \cos 115^\circ - \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = \sin 5^\circ $.

Преобразуем левую часть выражения, используя формулы приведения. Заметим, что $ 115^\circ = 90^\circ + 25^\circ $ и $ 65^\circ = 90^\circ - 25^\circ $. Используем следующие тождества:

$ \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $

$ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha $

Подставляя $ \alpha = 25^\circ $, получаем:

$ \cos 115^\circ = \cos(90^\circ + 25^\circ) = -\sin 25^\circ $

$ \cos 65^\circ = \cos(90^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ (-\sin 25^\circ) - \cos 35^\circ + (\sin 25^\circ) + \cos 25^\circ $

Упростим, сократив $ -\sin 25^\circ $ и $ \sin 25^\circ $:

$ \cos 25^\circ - \cos 35^\circ $

Теперь применим формулу разности косинусов:

$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $

В нашем случае $ \alpha = 25^\circ $ и $ \beta = 35^\circ $:

$ \cos 25^\circ - \cos 35^\circ = -2 \sin \frac{25^\circ + 35^\circ}{2} \sin \frac{25^\circ - 35^\circ}{2} = -2 \sin \frac{60^\circ}{2} \sin \frac{-10^\circ}{2} = -2 \sin 30^\circ \sin(-5^\circ) $

Используем свойство нечетности функции синус $ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $:

$ -2 \sin 30^\circ \cdot (-\sin 5^\circ) = 2 \sin 30^\circ \sin 5^\circ $

Поскольку значение $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 5^\circ = \sin 5^\circ $

Мы показали, что левая часть тождества равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.