Номер 28.21, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.21. a) $ \sin 47^\circ + \sin 61^\circ - \sin 11^\circ - \sin 25^\circ = \cos 7^\circ $

б) $ \operatorname{tg} 55^\circ - \operatorname{tg} 35^\circ = 2 \operatorname{tg} 20^\circ $

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала сгруппируем слагаемые: $(\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ)$.

Теперь применим к каждой группе формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Для первой группы: $\sin 61^\circ + \sin 47^\circ = 2 \sin\frac{61^\circ+47^\circ}{2}\cos\frac{61^\circ-47^\circ}{2} = 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ$.

Для второй группы: $\sin 25^\circ + \sin 11^\circ = 2 \sin\frac{25^\circ+11^\circ}{2}\cos\frac{25^\circ-11^\circ}{2} = 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$.

Подставив полученные выражения в исходное, получим: $2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ - 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$.

Вынесем общий множитель $2 \cos 7^\circ$ за скобки: $2 \cos 7^\circ (\sin 54^\circ - \sin 18^\circ)$.

Рассмотрим выражение в скобках. Используя формулу приведения, $\sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ$. Таким образом, разность равна $\cos 36^\circ - \sin 18^\circ$. Известно, что $\cos 36^\circ - \sin 18^\circ = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в наше выражение: $2 \cos 7^\circ \cdot \frac{1}{2} = \cos 7^\circ$.

Таким образом, левая часть тождества равна $\cos 7^\circ$, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу и приведем дроби к общему знаменателю:

$\operatorname{tg} 55^\circ - \operatorname{tg} 35^\circ = \frac{\sin 55^\circ}{\cos 55^\circ} - \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 55^\circ \cos 35^\circ - \cos 55^\circ \sin 35^\circ}{\cos 55^\circ \cos 35^\circ}$.

В числителе дроби мы видим формулу синуса разности углов $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$. Применив ее, получаем:

$\sin(55^\circ - 35^\circ) = \sin 20^\circ$.

Знаменатель преобразуем, используя формулу преобразования произведения косинусов в сумму $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$:

$\cos 55^\circ \cos 35^\circ = \frac{1}{2}(\cos(55^\circ+35^\circ) + \cos(55^\circ-35^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 90^\circ + \cos 20^\circ)$.

Поскольку $\cos 90^\circ = 0$, знаменатель упрощается до $\frac{1}{2}\cos 20^\circ$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{\sin 20^\circ}{\frac{1}{2}\cos 20^\circ} = 2 \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2 \operatorname{tg} 20^\circ$.

Таким образом, левая часть тождества равна $2 \operatorname{tg} 20^\circ$, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.