Номер 28.17, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.17. a) $ \cos 24^\circ + \cos 48^\circ - \cos 84^\circ - \cos 12^\circ $

б) $ \operatorname{tg} 9^\circ - \operatorname{tg} 63^\circ + \operatorname{tg} 81^\circ - \operatorname{tg} 27^\circ $

а)

Сначала сгруппируем слагаемые в выражении $\cos 24^\circ + \cos 48^\circ - \cos 84^\circ - \cos 12^\circ$ для удобства преобразований:
$(\cos 24^\circ - \cos 84^\circ) + (\cos 48^\circ - \cos 12^\circ)$.

Для преобразования разности косинусов в произведение воспользуемся формулой: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$.

Преобразуем первую группу:
$\cos 24^\circ - \cos 84^\circ = -2 \sin\frac{24^\circ + 84^\circ}{2} \sin\frac{24^\circ - 84^\circ}{2} = -2 \sin\frac{108^\circ}{2} \sin\frac{-60^\circ}{2} = -2 \sin 54^\circ \sin(-30^\circ)$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$ и значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получим:
$-2 \sin 54^\circ (-\sin 30^\circ) = 2 \sin 54^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 54^\circ$.

Преобразуем вторую группу:
$\cos 48^\circ - \cos 12^\circ = -2 \sin\frac{48^\circ + 12^\circ}{2} \sin\frac{48^\circ - 12^\circ}{2} = -2 \sin\frac{60^\circ}{2} \sin\frac{36^\circ}{2} = -2 \sin 30^\circ \sin 18^\circ$.
Подставляя $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = -\sin 18^\circ$.

Сложим полученные результаты:
$\sin 54^\circ + (-\sin 18^\circ) = \sin 54^\circ - \sin 18^\circ$.

Используем формулу приведения $\sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ$.
Выражение принимает вид: $\cos 36^\circ - \sin 18^\circ$.

Воспользуемся известными значениями тригонометрических функций для этих углов: $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ и $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
Подставляем эти значения в выражение:
$\frac{\sqrt{5}+1}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{5}+1 - (\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{\sqrt{5}+1 - \sqrt{5}+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б)

Перегруппируем слагаемые в выражении $\tg 9^\circ - \tg 63^\circ + \tg 81^\circ - \tg 27^\circ$:
$(\tg 9^\circ + \tg 81^\circ) - (\tg 63^\circ + \tg 27^\circ)$.

Применим формулу приведения $\tg(90^\circ - \alpha) = \ctg \alpha$:
$\tg 81^\circ = \tg(90^\circ - 9^\circ) = \ctg 9^\circ$.
$\tg 63^\circ = \tg(90^\circ - 27^\circ) = \ctg 27^\circ$.

Подставим преобразованные значения в выражение:
$(\tg 9^\circ + \ctg 9^\circ) - (\ctg 27^\circ + \tg 27^\circ)$.

Используем тождество $\tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Зная формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, можно выразить $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.
Таким образом, $\tg \alpha + \ctg \alpha = \frac{1}{\frac{\sin(2\alpha)}{2}} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$.

Применим эту формулу к каждой из скобок:
$\tg 9^\circ + \ctg 9^\circ = \frac{2}{\sin(2 \cdot 9^\circ)} = \frac{2}{\sin 18^\circ}$.
$\tg 27^\circ + \ctg 27^\circ = \frac{2}{\sin(2 \cdot 27^\circ)} = \frac{2}{\sin 54^\circ}$.

Выражение принимает вид:
$\frac{2}{\sin 18^\circ} - \frac{2}{\sin 54^\circ} = 2 \left( \frac{1}{\sin 18^\circ} - \frac{1}{\sin 54^\circ} \right) = 2 \frac{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ}$.

Для числителя применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$:
$\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cos\frac{54^\circ + 18^\circ}{2} \sin\frac{54^\circ - 18^\circ}{2} = 2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ$.

Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$2 \frac{2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} = \frac{4 \cos 36^\circ \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ}$.

Сокращаем на $\sin 18^\circ$ и используем формулу приведения $\sin 54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ$:
$\frac{4 \cos 36^\circ}{\sin 54^\circ} = \frac{4 \cos 36^\circ}{\cos 36^\circ} = 4$.

Ответ: $4$.