Номер 28.13, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.13. a) $\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta;$

б) $\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta.$

а) Докажем тождество $sin^2(\alpha + \beta) - sin^2(\alpha - \beta) = sin(2\alpha)sin(2\beta)$.
Преобразуем левую часть равенства. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$sin^2(\alpha + \beta) - sin^2(\alpha - \beta) = (sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta))(sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta))$.
Далее используем формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:
$sin(x) + sin(y) = 2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})$
$sin(x) - sin(y) = 2cos(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})$
Для первого множителя, суммы синусов, имеем:
$sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta) = 2sin(\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2})cos(\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}) = 2sin(\frac{2\alpha}{2})cos(\frac{2\beta}{2}) = 2sin(\alpha)cos(\beta)$.
Для второго множителя, разности синусов, имеем:
$sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta) = 2cos(\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2})sin(\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}) = 2cos(\frac{2\alpha}{2})sin(\frac{2\beta}{2}) = 2cos(\alpha)sin(\beta)$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(2sin(\alpha)cos(\beta)) \cdot (2cos(\alpha)sin(\beta)) = 4sin(\alpha)cos(\alpha)sin(\beta)cos(\beta)$.
Сгруппируем множители и воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin(2\theta) = 2sin(\theta)cos(\theta)$:
$(2sin(\alpha)cos(\alpha)) \cdot (2sin(\beta)cos(\beta)) = sin(2\alpha)sin(2\beta)$.
Мы преобразовали левую часть к виду правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $cos^2(\alpha - \beta) - cos^2(\alpha + \beta) = sin(2\alpha)sin(2\beta)$.
Преобразуем левую часть равенства, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$cos^2(\alpha - \beta) - cos^2(\alpha + \beta) = (cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$.
Далее используем формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:
$cos(x) + cos(y) = 2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})$
$cos(x) - cos(y) = -2sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})$
Для первого множителя, суммы косинусов, имеем:
$cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta) = 2cos(\frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2})cos(\frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2}) = 2cos(\frac{2\alpha}{2})cos(\frac{-2\beta}{2}) = 2cos(\alpha)cos(-\beta)$.
Так как косинус — четная функция ($cos(-\theta)=cos(\theta)$), выражение равно $2cos(\alpha)cos(\beta)$.
Для второго множителя, разности косинусов, имеем:
$cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta) = -2sin(\frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2})sin(\frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2}) = -2sin(\frac{2\alpha}{2})sin(\frac{-2\beta}{2}) = -2sin(\alpha)sin(-\beta)$.
Так как синус — нечетная функция ($sin(-\theta)=-sin(\theta)$), выражение равно $-2sin(\alpha)(-sin(\beta)) = 2sin(\alpha)sin(\beta)$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$(2cos(\alpha)cos(\beta)) \cdot (2sin(\alpha)sin(\beta)) = 4sin(\alpha)cos(\alpha)sin(\beta)cos(\beta)$.
Сгруппируем множители и воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin(2\theta) = 2sin(\theta)cos(\theta)$:
$(2sin(\alpha)cos(\alpha)) \cdot (2sin(\beta)cos(\beta)) = sin(2\alpha)sin(2\beta)$.
Мы преобразовали левую часть к виду правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.