Номер 28.9, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.9. a) $ \sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t; $

б) $ \cos 2t - \cos 4t - \cos 6t + \cos 8t. $

а)

Чтобы преобразовать сумму синусов в произведение, сгруппируем слагаемые: первое с четвертым и второе с третьим.
$ \sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t = (\sin 4t + \sin t) + (\sin 3t + \sin 2t) $

Применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к каждой группе.

Для первой группы:
$ \sin 4t + \sin t = 2 \sin\frac{4t+t}{2} \cos\frac{4t-t}{2} = 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{3t}{2} $

Для второй группы:
$ \sin 3t + \sin 2t = 2 \sin\frac{3t+2t}{2} \cos\frac{3t-2t}{2} = 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{t}{2} $

Подставим полученные выражения обратно в сумму и вынесем общий множитель $2 \sin\frac{5t}{2}$ за скобки:
$ 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{3t}{2} + 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{t}{2} = 2 \sin\frac{5t}{2} (\cos\frac{3t}{2} + \cos\frac{t}{2}) $

Теперь к выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos\frac{3t}{2} + \cos\frac{t}{2} = 2 \cos\frac{\frac{3t}{2}+\frac{t}{2}}{2} \cos\frac{\frac{3t}{2}-\frac{t}{2}}{2} = 2 \cos\frac{2t}{2} \cos\frac{t}{2} = 2 \cos t \cos\frac{t}{2} $

Подставим результат в итоговое выражение:
$ 2 \sin\frac{5t}{2} \cdot (2 \cos t \cos\frac{t}{2}) = 4 \cos t \cos\frac{t}{2} \sin\frac{5t}{2} $

Ответ: $4 \cos t \cos\frac{t}{2} \sin\frac{5t}{2}$.

б)

Сгруппируем слагаемые: первое с последним и второе с третьим.
$ \cos 2t - \cos 4t - \cos 6t + \cos 8t = (\cos 2t + \cos 8t) - (\cos 4t + \cos 6t) $

Применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к каждой группе в скобках.

Для первой группы:
$ \cos 2t + \cos 8t = 2 \cos\frac{2t+8t}{2} \cos\frac{8t-2t}{2} = 2 \cos 5t \cos 3t $

Для второй группы:
$ \cos 4t + \cos 6t = 2 \cos\frac{4t+6t}{2} \cos\frac{6t-4t}{2} = 2 \cos 5t \cos t $

Подставим полученные выражения обратно и вынесем общий множитель $2 \cos 5t$ за скобки:
$ 2 \cos 5t \cos 3t - 2 \cos 5t \cos t = 2 \cos 5t (\cos 3t - \cos t) $

К выражению в скобках применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos 3t - \cos t = -2 \sin\frac{3t+t}{2} \sin\frac{3t-t}{2} = -2 \sin 2t \sin t $

Подставим результат в итоговое выражение:
$ 2 \cos 5t \cdot (-2 \sin 2t \sin t) = -4 \sin t \sin 2t \cos 5t $

Ответ: $-4 \sin t \sin 2t \cos 5t$.