Номер 28.3, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.3. a) $\sin \frac{\pi}{5} - \sin \frac{\pi}{10}$;

б) $\sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{4}$;

в) $\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{7}$;

г) $\sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{11}$.

а) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{\pi}{10} $.

Найдем значения полуразности и полусуммы углов:

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi - \pi}{10}}{2} = \frac{\frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\pi}{20} $

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi + \pi}{10}}{2} = \frac{\frac{3\pi}{10}}{2} = \frac{3\pi}{20} $

Подставим полученные значения в формулу:

$ \sin\frac{\pi}{5} - \sin\frac{\pi}{10} = 2 \sin\frac{\pi}{20} \cos\frac{3\pi}{20} $

Ответ: $ 2 \sin\frac{\pi}{20} \cos\frac{3\pi}{20} $.

б) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = \frac{\pi}{4} $.

Найдем значения полусуммы и полуразности углов:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi + 3\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{7\pi}{12}}{2} = \frac{7\pi}{24} $

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi - 3\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{24} $

Подставим полученные значения в формулу:

$ \sin\frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{4} = 2 \sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} $

Ответ: $ 2 \sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} $.

в) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ и $ \beta = \frac{\pi}{7} $.

Найдем значения полусуммы и полуразности углов:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{7}}{2} = \frac{\frac{7\pi + 6\pi}{42}}{2} = \frac{\frac{13\pi}{42}}{2} = \frac{13\pi}{84} $

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{7}}{2} = \frac{\frac{7\pi - 6\pi}{42}}{2} = \frac{\frac{\pi}{42}}{2} = \frac{\pi}{84} $

Подставим полученные значения в формулу:

$ \sin\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{7} = 2 \sin\frac{13\pi}{84} \cos\frac{\pi}{84} $

Ответ: $ 2 \sin\frac{13\pi}{84} \cos\frac{\pi}{84} $.

г) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ и $ \beta = \frac{\pi}{11} $.

Найдем значения полуразности и полусуммы углов:

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 3\pi}{33}}{2} = \frac{\frac{8\pi}{33}}{2} = \frac{4\pi}{33} $

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 3\pi}{33}}{2} = \frac{\frac{14\pi}{33}}{2} = \frac{7\pi}{33} $

Подставим полученные значения в формулу:

$ \sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{11} = 2 \sin\frac{4\pi}{33} \cos\frac{7\pi}{33} $

Ответ: $ 2 \sin\frac{4\pi}{33} \cos\frac{7\pi}{33} $.