Номер 27.72, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.72. a) $y = \begin{cases} 2 \sin x \cos x, & \text{если } x \le 0 \\ 2 \sin^2 \frac{x}{4}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} (\sin x + \cos x)^2, & \text{если } x \le \frac{\pi}{4} \\ 2 + \frac{\pi}{4} - x, & \text{если } x > \frac{\pi}{4} \end{cases}$

а) Для анализа данной кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} 2 \sin x \cos x, & \text{если } x \le 0 \\ 2 \sin^2 \frac{x}{4}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$ вначале упростим её выражения, используя тригонометрические формулы.

Для $x \le 0$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$y = 2 \sin x \cos x = \sin(2x)$.

Для $x > 0$ используем формулу понижения степени $2 \sin^2 \alpha = 1 - \cos(2\alpha)$, где $\alpha = \frac{x}{4}$:

$y = 2 \sin^2 \frac{x}{4} = 1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{4}) = 1 - \cos(\frac{x}{2})$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \begin{cases} \sin(2x), & \text{если } x \le 0 \\ 1 - \cos(\frac{x}{2}), & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Теперь исследуем функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке "стыка" $x=0$.

Непрерывность в точке $x=0$:

Функция непрерывна в точке $x_0$, если предел слева, предел справа и значение функции в этой точке равны: $\lim_{x \to x_0^-} y(x) = \lim_{x \to x_0^+} y(x) = y(x_0)$.

1. Значение функции в точке $x=0$: $y(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$.

2. Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin(2x) = \sin(0) = 0$.

3. Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 - \cos(\frac{x}{2})) = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$.

Поскольку все три значения равны, функция непрерывна в точке $x=0$.

Дифференцируемость в точке $x=0$:

Функция дифференцируема, если в точке существует производная, то есть левосторонняя и правосторонняя производные равны: $y'_{-}(x_0) = y'_{+}(x_0)$.

1. Найдём производную для $x < 0$: $y' = (\sin(2x))' = 2\cos(2x)$.

Левосторонняя производная в $x=0$: $y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} 2\cos(2x) = 2\cos(0) = 2$.

2. Найдём производную для $x > 0$: $y' = (1 - \cos(\frac{x}{2}))' = -(-\sin(\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.

Правосторонняя производная в $x=0$: $y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}\sin(0) = 0$.

Так как $y'_{-}(0) = 2$ и $y'_{+}(0) = 0$, то $y'_{-}(0) \neq y'_{+}(0)$. Следовательно, функция не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси, но не дифференцируема в точке $x=0$.

б) Рассмотрим функцию $y = \begin{cases} (\sin x + \cos x)^2, & \text{если } x \le \frac{\pi}{4} \\ 2 + \frac{\pi}{4} - x, & \text{если } x > \frac{\pi}{4} \end{cases}$. Упростим первое выражение.

Для $x \le \frac{\pi}{4}$ раскроем квадрат суммы и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$:

$y = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin(2x)$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \begin{cases} 1 + \sin(2x), & \text{если } x \le \frac{\pi}{4} \\ 2 + \frac{\pi}{4} - x, & \text{если } x > \frac{\pi}{4} \end{cases}$

Исследуем функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке $x=\frac{\pi}{4}$.

Непрерывность в точке $x=\frac{\pi}{4}$:

1. Значение функции в точке $x=\frac{\pi}{4}$: $y(\frac{\pi}{4}) = 1 + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 1 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 + 1 = 2$.

2. Предел слева: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} y(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} (1 + \sin(2x)) = 1 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$.

3. Предел справа: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} y(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (2 + \frac{\pi}{4} - x) = 2 + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 2$.

Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна в точке $x=\frac{\pi}{4}$.

Дифференцируемость в точке $x=\frac{\pi}{4}$:

1. Найдём производную для $x < \frac{\pi}{4}$: $y' = (1 + \sin(2x))' = 2\cos(2x)$.

Левосторонняя производная в $x=\frac{\pi}{4}$: $y'_{-}(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} 2\cos(2x) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

2. Найдём производную для $x > \frac{\pi}{4}$: $y' = (2 + \frac{\pi}{4} - x)' = -1$.

Правосторонняя производная в $x=\frac{\pi}{4}$: $y'_{+}(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} (-1) = -1$.

Так как $y'_{-}(\frac{\pi}{4}) = 0$ и $y'_{+}(\frac{\pi}{4}) = -1$, то $y'_{-}(\frac{\pi}{4}) \neq y'_{+}(\frac{\pi}{4})$. Следовательно, функция не является дифференцируемой в точке $x=\frac{\pi}{4}$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси, но не дифференцируема в точке $x=\frac{\pi}{4}$.