Номер 28.6, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений. Параграф 28. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение - номер 28.6, страница 175.

Условие.

28.6. a) $\tan 25^\circ + \tan 35^\circ$;

б) $\tan \frac{\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{10}$;

В) $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ$;

Г) $\tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) Для преобразования суммы тангенсов воспользуемся формулой суммы тангенсов, которую можно вывести, представив тангенс как отношение синуса к косинусу и приведя дроби к общему знаменателю:
$\tan 25^\circ + \tan 35^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \cos 35^\circ + \cos 25^\circ \sin 35^\circ}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ}$
В числителе мы получили формулу синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
Применим эту формулу:
$\frac{\sin(25^\circ + 35^\circ)}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ}$
Зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем окончательное выражение:
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2\cos 25^\circ \cos 35^\circ}$.

б) Для преобразования разности тангенсов используем аналогичный подход. Воспользуемся формулой разности тангенсов: $\tan\alpha - \tan\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.
Подставим наши значения углов $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{10}$:
$\tan \frac{\pi}{5} - \tan \frac{\pi}{10} = \frac{\sin(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10})}{\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{10}}$
Вычислим разность углов в числителе:
$\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{10} - \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10}$
Таким образом, выражение принимает вид:
$\frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{10}}$
Ответ: $\frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{10}}$.

в) Для преобразования суммы тангенсов $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ$ используем ту же формулу, что и в пункте а): $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.
$\tan 20^\circ + \tan 40^\circ = \frac{\sin(20^\circ + 40^\circ)}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}$
Подставим табличное значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2\cos 20^\circ \cos 40^\circ}$.

г) В данном случае мы имеем дело с табличными значениями углов, поэтому можем вычислить точное значение выражения.
Известно, что:
$\tan \frac{\pi}{3} = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$
$\tan \frac{\pi}{4} = \tan 45^\circ = 1$
Выполним вычитание:
$\tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4} = \sqrt{3} - 1$
Ответ: $\sqrt{3} - 1$.