Номер 28.11, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.11. a) $\frac{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)} = \operatorname{tg} \alpha;$

б) $\frac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)}{\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)} = \operatorname{tg} \alpha.$

а)

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

В числителе применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} \cos\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2 \sin\frac{2\alpha}{2} \cos\frac{2\beta}{2} = 2 \sin\alpha \cos\beta$.

В знаменателе применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} \cos\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2 \cos\frac{2\alpha}{2} \cos\frac{2\beta}{2} = 2 \cos\alpha \cos\beta$.

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь и упростим ее:

$\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)} = \frac{2 \sin\alpha \cos\beta}{2 \cos\alpha \cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha$.

Поскольку левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение.

В числителе применим формулу разности косинусов $\cos y - \cos x = 2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2 \sin\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} \sin\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2 \sin\frac{2\alpha}{2} \sin\frac{2\beta}{2} = 2 \sin\alpha \sin\beta$.

В знаменателе применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$:

$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} \cos\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} = 2 \sin\frac{2\beta}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin\beta \cos\alpha$.

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь и упростим ее:

$\frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)} = \frac{2 \sin\alpha \sin\beta}{2 \cos\alpha \sin\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha$.

Поскольку левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.