Номер 28.15, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.15. a) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha}$, если $\ctg 4\alpha = 0,2;$

б) $\frac{\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x}{\cos x - \cos 2x + \cos 3x - \cos 4x}$, если $\tg \frac{5x}{4} = 2.$

а)

Для того чтобы вычислить значение выражения, сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе, а затем применим формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Исходное выражение: $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha}$

Сгруппируем слагаемые:
Числитель: $(\sin 7\alpha + \sin \alpha) + (\sin 5\alpha + \sin 3\alpha)$
Знаменатель: $(\cos 7\alpha + \cos \alpha) + (\cos 5\alpha + \cos 3\alpha)$

Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов:
$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$
$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Преобразуем числитель:
$\sin 7\alpha + \sin \alpha = 2 \sin\frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha$
$\sin 5\alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos \alpha$
Весь числитель равен: $2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha + 2 \sin 4\alpha \cos \alpha = 2 \sin 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)$

Преобразуем знаменатель:
$\cos 7\alpha + \cos \alpha = 2 \cos\frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha$
$\cos 5\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos \alpha$
Весь знаменатель равен: $2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha + 2 \cos 4\alpha \cos \alpha = 2 \cos 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)$

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{2 \sin 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)}{2 \cos 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)}$

Сократим общий множитель $2(\cos 3\alpha + \cos \alpha)$, предполагая, что он не равен нулю. Получим:
$\frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} = \tan 4\alpha$

По условию $\ctg 4\alpha = 0,2$. Так как $\tan x = \frac{1}{\ctg x}$, находим:
$\tan 4\alpha = \frac{1}{0,2} = \frac{1}{1/5} = 5$.

Ответ: 5.

б)

Для упрощения данного выражения сгруппируем слагаемые и применим тригонометрические формулы.

Исходное выражение: $\frac{\sin x - \sin 2x + \sin 3x - \sin 4x}{\cos x - \cos 2x + \cos 3x - \cos 4x}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаками:
Числитель: $(\sin x + \sin 3x) - (\sin 2x + \sin 4x)$
Знаменатель: $(\cos x + \cos 3x) - (\cos 2x + \cos 4x)$

Применим формулы суммы синусов и косинусов:
$\sin x + \sin 3x = 2 \sin 2x \cos x$
$\sin 2x + \sin 4x = 2 \sin 3x \cos x$
$\cos x + \cos 3x = 2 \cos 2x \cos x$
$\cos 2x + \cos 4x = 2 \cos 3x \cos x$

Подставим эти выражения обратно в дробь:
$\frac{2 \sin 2x \cos x - 2 \sin 3x \cos x}{2 \cos 2x \cos x - 2 \cos 3x \cos x} = \frac{2 \cos x (\sin 2x - \sin 3x)}{2 \cos x (\cos 2x - \cos 3x)}$

Сократим на $2\cos x$ (при $\cos x \neq 0$):
$\frac{\sin 2x - \sin 3x}{\cos 2x - \cos 3x}$

Теперь применим формулы разности синусов и разности косинусов:
$\sin a - \sin b = 2 \cos\frac{a+b}{2} \sin\frac{a-b}{2}$
$\cos a - \cos b = -2 \sin\frac{a+b}{2} \sin\frac{a-b}{2}$

$\frac{2 \cos\frac{2x+3x}{2} \sin\frac{2x-3x}{2}}{-2 \sin\frac{2x+3x}{2} \sin\frac{2x-3x}{2}} = \frac{2 \cos\frac{5x}{2} \sin(-\frac{x}{2})}{-2 \sin\frac{5x}{2} \sin(-\frac{x}{2})}$

Сократим на $2\sin(-\frac{x}{2})$ (при $\sin(-\frac{x}{2}) \neq 0$):
$\frac{\cos\frac{5x}{2}}{-\sin\frac{5x}{2}} = -\ctg\frac{5x}{2}$

По условию $\tg\frac{5x}{4} = 2$. Нам нужно найти значение $-\ctg\frac{5x}{2}$.
Пусть $y = \frac{5x}{4}$, тогда $\frac{5x}{2} = 2y$. Нам нужно найти $-\ctg(2y)$.

Используем формулу тангенса двойного угла: $\tg(2y) = \frac{2\tg y}{1 - \tg^2 y}$.
$\tg(2y) = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{1 - 4} = -\frac{4}{3}$

Так как $\ctg(2y) = \frac{1}{\tg(2y)}$, то:
$\ctg(2y) = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$

Искомое значение выражения равно $-\ctg\frac{5x}{2} = -(-\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.