Номер 28.10, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

28.10. a) $\frac{\sin 2\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 6\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha;$

б) $\frac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha \operatorname{tg} \alpha.$

а) Для доказательства тождества $ \frac{\sin 2\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 6\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов (формулы преобразования суммы в произведение):
$ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби, для удобства поменяв слагаемые местами:
В числителе: $ \sin 6\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\frac{6\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha $.
В знаменателе: $ \cos 6\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha $.
Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:
$ \frac{2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha}{2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha} $
Сокращаем дробь на общий множитель $ 2 \cos 2\alpha $ (при условии, что он не равен нулю, что входит в область определения тождества):
$ \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} $
По определению тангенса $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $, поэтому полученное выражение равно $ \operatorname{tg} 4\alpha $.
Таким образом, $ \frac{\sin 2\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 6\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha $, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \frac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha \operatorname{tg} \alpha $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами разности и суммы косинусов:
$ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $
$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:
В числителе: $ \cos 2\alpha - \cos 4\alpha = -2 \sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2} \sin\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = -2 \sin 3\alpha \sin(-\alpha) $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin x $, получаем: $ -2 \sin 3\alpha (-\sin\alpha) = 2 \sin 3\alpha \sin\alpha $.
В знаменателе: $ \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos\frac{2\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos(-\alpha) $.
Используя свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos x $, получаем: $ 2 \cos 3\alpha \cos\alpha $.
Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества:
$ \frac{2 \sin 3\alpha \sin\alpha}{2 \cos 3\alpha \cos\alpha} $
Сократим на 2 и перегруппируем множители:
$ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $
По определению тангенса, это выражение равно $ \operatorname{tg} 3\alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha $.
Таким образом, $ \frac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha \operatorname{tg} \alpha $, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.