Номер 28.4, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Представьте в виде произведения:

28.4. a) $cos \frac{\pi}{10} - cos \frac{\pi}{20}$;

б) $cos \frac{11\pi}{12} + cos \frac{3\pi}{4}$;

в) $cos \frac{\pi}{5} - cos \frac{\pi}{11}$;

г) $cos \frac{3\pi}{8} + cos \frac{5\pi}{4}$.

а) $ \cos\frac{\pi}{10} - \cos\frac{\pi}{20} $

Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула суммы-в-произведение: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{10} $ и $ \beta = \frac{\pi}{20} $.

Сначала найдем значения полусуммы и полуразности углов:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{20} + \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{3\pi}{20} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{40} $.

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{20} - \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\pi}{20} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{40} $.

Теперь подставим полученные значения в формулу:

$ \cos\frac{\pi}{10} - \cos\frac{\pi}{20} = -2 \sin\left(\frac{3\pi}{40}\right) \sin\left(\frac{\pi}{40}\right) $.

Ответ: $ -2 \sin\frac{3\pi}{40} \sin\frac{\pi}{40} $.

б) $ \cos\frac{11\pi}{12} + \cos\frac{3\pi}{4} $

Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Здесь $ \alpha = \frac{11\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{4} $. Для удобства вычислений приведем второй угол к знаменателю 12: $ \frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12} $.

Найдем полусумму и полуразность углов:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{20\pi}{12}}{2} = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6} $.

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{12} $.

Подставляем в формулу:

$ \cos\frac{11\pi}{12} + \cos\frac{3\pi}{4} = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) $.

Можно вычислить точное значение $ \cos\frac{5\pi}{6} $: $ \cos\frac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставив это значение, получаем окончательный результат:

$ 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos\frac{\pi}{12} = -\sqrt{3} \cos\frac{\pi}{12} $.

Ответ: $ -\sqrt{3} \cos\frac{\pi}{12} $.

в) $ \cos\frac{\pi}{5} - \cos\frac{\pi}{11} $

Используем формулу разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

В этом примере $ \alpha = \frac{\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{\pi}{11} $.

Найдем полусумму и полуразность углов:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 5\pi}{55}}{2} = \frac{16\pi}{55 \cdot 2} = \frac{8\pi}{55} $.

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 5\pi}{55}}{2} = \frac{6\pi}{55 \cdot 2} = \frac{3\pi}{55} $.

Подставляем в формулу:

$ \cos\frac{\pi}{5} - \cos\frac{\pi}{11} = -2 \sin\frac{8\pi}{55} \sin\frac{3\pi}{55} $.

Ответ: $ -2 \sin\frac{8\pi}{55} \sin\frac{3\pi}{55} $.

г) $ \cos\frac{3\pi}{8} + \cos\frac{5\pi}{4} $

Сначала можно упростить второй член, используя формулы приведения: $ \cos\frac{5\pi}{4} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} $.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде разности:

$ \cos\frac{3\pi}{8} - \cos\frac{\pi}{4} $.

Применим формулу разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Здесь $ \alpha = \frac{3\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{\pi}{4} $. Приведем $ \beta $ к знаменателю 8: $ \beta = \frac{2\pi}{8} $.

Найдем полусумму и полуразность:

$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8} + \frac{2\pi}{8}}{2} = \frac{\frac{5\pi}{8}}{2} = \frac{5\pi}{16} $.

$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8} - \frac{2\pi}{8}}{2} = \frac{\frac{\pi}{8}}{2} = \frac{\pi}{16} $.

Подставляем полученные значения в формулу:

$ \cos\frac{3\pi}{8} - \cos\frac{\pi}{4} = -2 \sin\frac{5\pi}{16} \sin\frac{\pi}{16} $.

Ответ: $ -2 \sin\frac{5\pi}{16} \sin\frac{\pi}{16} $.