Номер 27.71, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.71. a) $y = \frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x} + \sin x;$

B) $y = \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x} + \sin x;$

б) $y = \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x} + \cos x;$

г) $y = \frac{\cos 2x}{\cos x - \sin x} - \cos x.$

а)

Для упрощения данного выражения $y = \frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x} + \sin x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Эта форма удобна, так как числитель можно разложить на множители как разность квадратов.

Подставим формулу в выражение:

$y = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \sin x$

Разложим числитель на множители: $\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

$y = \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x - \cos x} + \sin x$

Заметим, что $(\cos x - \sin x) = -(\sin x - \cos x)$. Вынесем минус за скобки в числителе:

$y = \frac{-(\sin x - \cos x)(\cos x + \sin x)}{\sin x - \cos x} + \sin x$

Сократим дробь при условии, что знаменатель не равен нулю ($\sin x - \cos x \neq 0$):

$y = -(\cos x + \sin x) + \sin x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = -\cos x - \sin x + \sin x = -\cos x$

Область определения исходной функции: $\sin x - \cos x \neq 0$, или $\tan x \neq 1$, то есть $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y = -\cos x$ при $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Рассмотрим выражение $y = \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x} + \cos x$. Как и в предыдущем пункте, используем формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Подставим её в выражение:

$y = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x + \sin x} + \cos x$

Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$y = \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x + \sin x} + \cos x$

Сократим дробь при условии, что знаменатель не равен нулю ($\cos x + \sin x \neq 0$):

$y = (\cos x - \sin x) + \cos x$

Приведем подобные слагаемые:

$y = 2\cos x - \sin x$

Область определения исходной функции: $\cos x + \sin x \neq 0$, или $\tan x \neq -1$, то есть $x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y = 2\cos x - \sin x$ при $x \neq -\frac