Номер 28.2, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.2. a) $\cos 15^\circ + \cos 45^\circ$;

б) $\cos 46^\circ - \cos 74^\circ$;

В) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ$;

г) $\cos 75^\circ - \cos 15^\circ$.

а)

Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу к выражению $\cos 15^\circ + \cos 45^\circ$, где $\alpha = 15^\circ$ и $\beta = 45^\circ$:

$\cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos\left(\frac{15^\circ + 45^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{15^\circ - 45^\circ}{2}\right) = 2 \cos(30^\circ) \cos(-15^\circ)$

Поскольку косинус — четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, а значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то выражение можно упростить:

$2 \cos(30^\circ) \cos(15^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(15^\circ) = \sqrt{3} \cos(15^\circ)$

Для получения конечного числового значения вычислим $\cos(15^\circ)$ по формуле косинуса разности углов $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$:

$\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим найденное значение $\cos(15^\circ)$ в наше выражение:

$\sqrt{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}\sqrt{6} + \sqrt{3}\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{4} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

б)

Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу к выражению $\cos 46^\circ - \cos 74^\circ$, где $\alpha = 46^\circ$ и $\beta = 74^\circ$:

$\cos 46^\circ - \cos 74^\circ = -2 \sin\left(\frac{46^\circ + 74^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{46^\circ - 74^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-28^\circ}{2}\right) = -2 \sin(60^\circ) \sin(-14^\circ)$

Поскольку синус — нечетная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$, а значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то выражение можно упростить:

$-2 \sin(60^\circ) (-\sin(14^\circ)) = 2 \sin(60^\circ) \sin(14^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(14^\circ) = \sqrt{3} \sin(14^\circ)$

Ответ: $\sqrt{3} \sin(14^\circ)$.

в)

Используем формулу суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу к выражению $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ$, где $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 40^\circ$:

$\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos\left(\frac{20^\circ + 40^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{20^\circ - 40^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) = 2 \cos(30^\circ) \cos(-10^\circ)$

Поскольку косинус — четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, а значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то выражение можно упростить:

$2 \cos(30^\circ) \cos(10^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(10^\circ) = \sqrt{3} \cos(10^\circ)$

Ответ: $\sqrt{3} \cos(10^\circ)$.

г)

Используем формулу разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу к выражению $\cos 75^\circ - \cos 15^\circ$, где $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 15^\circ$:

$\cos 75^\circ - \cos 15^\circ = -2 \sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = -2 \sin(45^\circ) \sin(30^\circ)$

Подставим известные табличные значения $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.