Номер 27.70, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.70. а) $y = \frac{\sin 2x}{\sin x};$

б) $y = \frac{\sin 2x}{\cos x}.$

a) Дана функция $y = \frac{\sin 2x}{\sin x}$.

Первым шагом найдем область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, ее знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, мы имеем условие:

$\sin x \neq 0$

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, где $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Далее, упростим выражение для функции. Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла:

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x}$

На области определения функции, где $\sin x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\sin x$:

$y = 2 \cos x$

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = 2 \cos x$ при условии, что $x \neq k\pi$ для любого целого $k$. Графиком этой функции является косинусоида $y = 2 \cos x$ с выколотыми точками в тех $x$, которые не входят в область определения.

Ответ: $y = 2 \cos x$ при $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $y = \frac{\sin 2x}{\cos x}$.

Найдем область определения этой функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому накладывается условие:

$\cos x \neq 0$

Это условие истинно для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь упростим выражение для $y$. Снова используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставляем в исходное уравнение:

$y = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos x}$

Так как в области определения функции $\cos x \neq 0$, мы можем сократить числитель и знаменатель на $\cos x$:

$y = 2 \sin x$

Итак, данная функция эквивалентна функции $y = 2 \sin x$ на всей ее области определения. Графиком является синусоида $y = 2 \sin x$ с выколотыми точками при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Ответ: $y = 2 \sin x$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.