Номер 27.69, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.69. a) $y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$

б) $y = -\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}}$

а)

Дана функция $y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$.
Задача состоит в том, чтобы упростить данное тригонометрическое выражение. Для этого воспользуемся формулами половинного угла, которые также известны как формулы понижения степени:
$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$
$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$
Подставим эти тождества в исходное выражение:
$y = \sqrt{\frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}}} = \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}}}$.
По определению котангенса, $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, поэтому выражение под корнем можно записать как $\cot^2 \frac{x}{2}$:
$y = \sqrt{\cot^2 \frac{x}{2}}$.
При извлечении квадратного корня из квадрата выражения необходимо использовать модуль, так как результат корня должен быть неотрицательным: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Следовательно, получаем:
$y = \left|\cot \frac{x}{2}\right|$.
Область определения исходной функции задается условием, что подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель не равен нулю. Условие $1 - \cos x > 0$ означает, что $\cos x \neq 1$, то есть $x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это совпадает с областью определения функции $\cot \frac{x}{2}$, у которой $\sin \frac{x}{2} \neq 0$.

Ответ: $y = \left|\cot \frac{x}{2}\right|$.

б)

Дана функция $y = -\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}}$.
Аналогично предыдущему пункту, упростим выражение, используя формулы для двойного угла косинуса:
$1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$
$1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$
Подставим эти тождества в выражение для $y$:
$y = -\sqrt{\frac{2 \sin^2 x}{2 \cos^2 x}} = -\sqrt{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}$.
По определению тангенса, $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, поэтому подкоренное выражение равно $\tan^2 x$:
$y = -\sqrt{\tan^2 x}$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$y = -|\tan x|$.
Область определения исходной функции задается условием $1 + \cos 2x > 0$, что означает $\cos 2x \neq -1$. Отсюда $2x \neq \pi + 2\pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это совпадает с областью определения функции $\tan x$, у которой $\cos x \neq 0$.

Ответ: $y = -|\tan x|$.