Номер 28.1, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Представьте в виде произведения:

28.1. a) $ \sin 40^\circ + \sin 16^\circ $;

б) $ \sin 20^\circ - \sin 40^\circ $;

в) $ \sin 10^\circ + \sin 50^\circ $;

г) $ \sin 52^\circ - \sin 36^\circ $.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. В данном случае это формулы для синусов:

• Формула суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $
• Формула разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) $

а) $ \sin 40^\circ + \sin 16^\circ $

Применим формулу суммы синусов, где $ \alpha = 40^\circ $ и $ \beta = 16^\circ $:

$ \sin 40^\circ + \sin 16^\circ = 2 \sin\left(\frac{40^\circ + 16^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ - 16^\circ}{2}\right) $

Выполняем вычисления в аргументах синуса и косинуса:

$ = 2 \sin\left(\frac{56^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{24^\circ}{2}\right) $

$ = 2 \sin 28^\circ \cos 12^\circ $

Ответ: $ 2 \sin 28^\circ \cos 12^\circ $

б) $ \sin 20^\circ - \sin 40^\circ $

Применим формулу разности синусов, где $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 40^\circ $:

$ \sin 20^\circ - \sin 40^\circ = 2 \sin\left(\frac{20^\circ - 40^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{20^\circ + 40^\circ}{2}\right) $

Выполняем вычисления:

$ = 2 \sin\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{60^\circ}{2}\right) $

$ = 2 \sin(-10^\circ) \cos 30^\circ $

Используем свойство нечетности синуса ($ \sin(-x) = -\sin x $) и известное значение косинуса ($ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $):

$ = 2 (-\sin 10^\circ) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} \sin 10^\circ $

Ответ: $ -\sqrt{3} \sin 10^\circ $

в) $ \sin 10^\circ + \sin 50^\circ $

Применим формулу суммы синусов, где $ \alpha = 10^\circ $ и $ \beta = 50^\circ $:

$ \sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin\left(\frac{10^\circ + 50^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{10^\circ - 50^\circ}{2}\right) $

Выполняем вычисления:

$ = 2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{-40^\circ}{2}\right) $

$ = 2 \sin 30^\circ \cos(-20^\circ) $

Используем свойство четности косинуса ($ \cos(-x) = \cos x $) и известное значение синуса ($ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $):

$ = 2 \left(\frac{1}{2}\right) \cos 20^\circ = \cos 20^\circ $

Ответ: $ \cos 20^\circ $

г) $ \sin 52^\circ - \sin 36^\circ $

Применим формулу разности синусов, где $ \alpha = 52^\circ $ и $ \beta = 36^\circ $:

$ \sin 52^\circ - \sin 36^\circ = 2 \sin\left(\frac{52^\circ - 36^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{52^\circ + 36^\circ}{2}\right) $

Выполняем вычисления:

$ = 2 \sin\left(\frac{16^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{88^\circ}{2}\right) $

$ = 2 \sin 8^\circ \cos 44^\circ $

Ответ: $ 2 \sin 8^\circ \cos 44^\circ $