Номер 28.8, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений. Параграф 28. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение - номер 28.8, страница 175.

Условие.

28.8. a) $\sin 5x + 2 \sin 6x + \sin 7x;$

б) $2 \cos x + \cos 2x + \cos 4x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а)

Для преобразования данного выражения в произведение, сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

$\sin 5x + 2 \sin 6x + \sin 7x = (\sin 7x + \sin 5x) + 2 \sin 6x$

Применяем формулу:

$(\sin 7x + \sin 5x) + 2 \sin 6x = 2 \sin \frac{7x+5x}{2} \cos \frac{7x-5x}{2} + 2 \sin 6x = 2 \sin 6x \cos x + 2 \sin 6x$

Теперь вынесем общий множитель $2 \sin 6x$ за скобки:

$2 \sin 6x (\cos x + 1)$

Далее используем формулу понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1$. Из этой формулы следует, что $\cos x + 1 = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.

Подставим это в наше выражение:

$2 \sin 6x \cdot (2 \cos^2 \frac{x}{2}) = 4 \sin 6x \cos^2 \frac{x}{2}$

Ответ: $4 \sin 6x \cos^2 \frac{x}{2}$

б)

Для преобразования этого выражения в произведение, сгруппируем второе и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

$2 \cos x + \cos 2x + \cos 4x = 2 \cos x + (\cos 4x + \cos 2x)$

Применяем формулу:

$2 \cos x + (\cos 4x + \cos 2x) = 2 \cos x + 2 \cos \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} = 2 \cos x + 2 \cos 3x \cos x$

Вынесем общий множитель $2 \cos x$ за скобки:

$2 \cos x (1 + \cos 3x)$

Используем формулу $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$, которая является следствием формулы косинуса двойного угла.

Применив эту формулу для $\alpha = 3x$, получим:

$2 \cos x \cdot (2 \cos^2 \frac{3x}{2}) = 4 \cos x \cos^2 \frac{3x}{2}$

Ответ: $4 \cos x \cos^2 \frac{3x}{2}$