Номер 28.7, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.7. a) $\frac{1}{2} - \cos t;$

б) $\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t;$

В) $1 + 2 \cos t;$

Г) $\cos t + \sin t.$

а) Чтобы найти область значений выражения $y = \frac{1}{2} - \cos t$, воспользуемся известной областью значений функции косинус.

Известно, что значения $\cos t$ лежат в промежутке от $-1$ до $1$ включительно:

$-1 \le \cos t \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 1 \le -\cos t \le -1 \cdot (-1)$

$-1 \le -\cos t \le 1$

Теперь прибавим ко всем частям неравенства $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} - 1 \le \frac{1}{2} - \cos t \le \frac{1}{2} + 1$

Выполним вычисления:

$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} - \cos t \le \frac{3}{2}$

Таким образом, область значений данного выражения — это промежуток $[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$

б) Чтобы найти область значений выражения $y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t$, воспользуемся известной областью значений функции синус.

Известно, что значения $\sin t$ лежат в промежутке от $-1$ до $1$ включительно:

$-1 \le \sin t \le 1$

Прибавим ко всем частям двойного неравенства число $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

Таким образом, область значений данного выражения — это промежуток $[\frac{\sqrt{3}}{2} - 1; \frac{\sqrt{3}}{2} + 1]$.

Ответ: $[\frac{\sqrt{3}}{2} - 1; \frac{\sqrt{3}}{2} + 1]$

в) Чтобы найти область значений выражения $y = 1 + 2\cos t$, воспользуемся известной областью значений функции косинус.

Известно, что значения $\cos t$ лежат в промежутке от $-1$ до $1$ включительно:

$-1 \le \cos t \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на $2$:

$2 \cdot (-1) \le 2\cos t \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2\cos t \le 2$

Теперь прибавим ко всем частям неравенства $1$:

$1 - 2 \le 1 + 2\cos t \le 1 + 2$

$-1 \le 1 + 2\cos t \le 3$

Таким образом, область значений данного выражения — это промежуток $[-1; 3]$.

Ответ: $[-1; 3]$

г) Чтобы найти область значений выражения $y = \cos t + \sin t$, преобразуем его с помощью метода введения вспомогательного угла.

Выражение имеет вид $a\sin t + b\cos t$, где $a=1$ и $b=1$. Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$y = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos t\right)$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$. Подставим эти значения в выражение:

$y = \sqrt{2} \left(\sin t \cdot \cos\frac{\pi}{4} + \cos t \cdot \sin\frac{\pi}{4}\right)$

Выражение в скобках является формулой синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Следовательно, получаем:

$y = \sqrt{2}\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$

Теперь найдем область значений преобразованного выражения. Область значений синуса любого аргумента — это промежуток $[-1; 1]$:

$-1 \le \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$

Умножим все части неравенства на $\sqrt{2}$:

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}$

То есть, $-\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2}$.

Таким образом, область значений данного выражения — это промежуток $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

Ответ: $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$