Номер 27.68, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

27.68. a) $y = 4 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$;

б) $y = 2 \cos^2 x$.

а) Для построения графика функции $y = 4 \sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4}$ сначала упростим ее выражение. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.

Преобразуем исходную функцию, представив ее в виде:$y = 2 \cdot (2 \sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4})$.

Пусть $\alpha = \frac{x}{4}$. Тогда, применяя формулу, получаем:$y = 2 \sin(2 \cdot \frac{x}{4}) = 2 \sin(\frac{x}{2})$.

Итак, задача сводится к построению графика функции $y = 2 \sin(\frac{x}{2})$. Этот график можно получить из графика основной функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований:

1. Растяжение графика вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Это преобразование изменяет период функции. Стандартный период синуса равен $2\pi$. Новый период $T$ будет равен $T = \frac{2\pi}{k}$, где $k=\frac{1}{2}$. Таким образом, $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

2. Растяжение графика вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Это преобразование изменяет амплитуду функции. Амплитуда становится равной 2, а область значений функции: $E(y) = [-2, 2]$.

Для построения графика на одном периоде $[0, 4\pi]$ найдем ключевые точки:
- при $x=0, y = 2 \sin(0) = 0$;
- при $x=\pi, y = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$ (точка максимума);
- при $x=2\pi, y = 2 \sin(\frac{2\pi}{2}) = 2 \sin(\pi) = 0$;
- при $x=3\pi, y = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) = -2$ (точка минимума);
- при $x=4\pi, y = 2 \sin(\frac{4\pi}{2}) = 2 \sin(2\pi) = 0$.

График функции является синусоидой, проходящей через начало координат, с периодом $4\pi$ и колеблющейся в пределах от -2 до 2.
Ответ: График функции $y = 4 \sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4}$ — это синусоида $y = 2 \sin(\frac{x}{2})$ с периодом $4\pi$ и амплитудой 2.

б) Для построения графика функции $y = 2 \cos^2 x$ сначала упростим ее выражение. Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса, которая выводится из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$.

Из этой формулы выразим $2\cos^2x$:$2\cos^2x = \cos(2x) + 1$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \cos(2x) + 1$. Этот график можно получить из графика основной функции $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:

1. Сжатие графика вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Это преобразование изменяет период функции. Стандартный период косинуса равен $2\pi$. Новый период $T$ будет равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k=2$. Таким образом, $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

2. Сдвиг графика вверх вдоль оси ординат (оси Oy) на 1 единицу. Это преобразование изменяет область значений функции. Область значений для $y=\cos(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. После сдвига на 1 вверх область значений становится $E(y) = [0, 2]$.

Для построения графика на одном периоде $[0, \pi]$ найдем ключевые точки:
- при $x=0, y = \cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2$ (точка максимума);
- при $x=\frac{\pi}{4}, y = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + 1 = \cos(\frac{\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$;
- при $x=\frac{\pi}{2}, y = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + 1 = \cos(\pi) + 1 = -1 + 1 = 0$ (точка минимума);
- при $x=\frac{3\pi}{4}, y = \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) + 1 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$;
- при $x=\pi, y = \cos(2\pi) + 1 = 1 + 1 = 2$ (точка максимума).

График функции является косинусоидой, сжатой по горизонтали в 2 раза и сдвинутой на 1 единицу вверх. Все точки графика лежат на отрезке $[0, 2] $ по оси Oy.
Ответ: График функции $y = 2 \cos^2 x$ — это график функции $y = \cos(2x) + 1$, который является косинусоидой с периодом $\pi$ и областью значений $[0, 2]$.