Номер 28.22, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.22. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то выполняется равенство:

а) $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma$;

б) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$.

Дано условие: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Из этого условия следует, что $\alpha + \beta = \pi - \gamma$.
Возьмем тангенс от обеих частей этого равенства (при условии, что тангенсы существуют, то есть ни один из углов не равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число):
$\tg(\alpha + \beta) = \tg(\pi - \gamma)$
Используя формулу тангенса суммы для левой части и формулу приведения для правой, получаем:
$\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} = -\tg \gamma$
Умножим обе части на знаменатель $(1 - \tg \alpha \tg \beta)$:
$\tg \alpha + \tg \beta = -\tg \gamma (1 - \tg \alpha \tg \beta)$
Раскроем скобки в правой части:
$\tg \alpha + \tg \beta = -\tg \gamma + \tg \alpha \tg \beta \tg \gamma$
Перенесем $-\tg \gamma$ в левую часть, чтобы завершить доказательство:
$\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma = \tg \alpha \tg \beta \tg \gamma$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

Преобразуем левую часть равенства: $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$.
Сначала применим формулу суммы синусов к первым двум слагаемым: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.
$(\sin \alpha + \sin \beta) + \sin \gamma = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin \gamma$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ имеем $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi - \gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.
Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - z) = \cos z$, получаем $\sin\frac{\alpha+\beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}$.
Подставим это в наше выражение:
$2 \cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin \gamma$
Теперь используем формулу синуса двойного угла для $\sin \gamma = 2 \sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$:
$2 \cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\gamma}{2}$ за скобки:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin\frac{\gamma}{2} \right)$
Снова используем условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, чтобы преобразовать $\sin\frac{\gamma}{2}$.
$\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}$, поэтому $\sin\frac{\gamma}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}) = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставим это в скобки:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right)$
Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = 2\cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{-\beta}{2} = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}$
Подставим полученный результат обратно:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( 2 \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} \right) = 4 \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.