Номер 28.27, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.27. a) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0;$

б) $\cos 3x - \cos 5x = \sin 4x.$

а) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = 0$

$2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0$

$2\sin 2x \cos x + \sin 2x = 0$

Теперь вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin 2x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 3x - \cos 5x = \sin 4x$

Для решения преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$-2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2} = \sin 4x$

$-2\sin 4x \sin(-x) = \sin 4x$

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin x$), уравнение принимает вид:

$2\sin 4x \sin x = \sin 4x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2\sin 4x \sin x - \sin 4x = 0$

$\sin 4x (2\sin x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin 4x = 0$

Решение этого уравнения:

$4x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2\sin x - 1 = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения дается общей формулой:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.