Номер 28.26, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

28.26. а) $\cos x + \cos 3x = 0$;

б) $\sin 12x + \sin 4x = 0$;

в) $\cos x = \cos 5x$;

г) $\sin 3x = \sin 17x$.

а) $\cos x + \cos 3x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$2 \cos\frac{3x + x}{2} \cos\frac{3x - x}{2} = 0$

$2 \cos(2x) \cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя эти две серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 12x + \sin 4x = 0$

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$.

Применим формулу, где $\alpha = 12x$ и $\beta = 4x$:

$2 \sin\frac{12x + 4x}{2} \cos\frac{12x - 4x}{2} = 0$

$2 \sin(8x) \cos(4x) = 0$

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1) $\sin(8x) = 0$

$8x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(4x) = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проанализируем полученные серии решений. Вторую серию можно представить в виде $x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{8} = \frac{\pi(1+2n)}{8}$. Здесь $1+2n$ представляет собой любое нечетное целое число. Таким образом, вторая серия решений соответствует случаю, когда в первой серии $k$ является нечетным числом ($k = 1+2n$).

Первая серия решений $x = \frac{\pi k}{8}$ включает в себя все целые $k$ (и четные, и нечетные). Следовательно, вторая серия решений является подмножеством первой.

Поэтому общим решением является только первая, более общая, серия.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos x = \cos 5x$

Данное уравнение имеет вид $\cos \alpha = \cos \beta$. Общее решение таких уравнений записывается в виде $\alpha = \pm \beta + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Применим это к нашему уравнению, где $\alpha=5x$ и $\beta=x$:

$5x = \pm x + 2\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $5x = x + 2\pi k$

$4x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $5x = -x + 2\pi n$

$6x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем эти две серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin 3x = \sin 17x$

Данное уравнение имеет вид $\sin \alpha = \sin \beta$. Общее решение таких уравнений записывается в виде совокупности двух серий:

$\alpha = \beta + 2\pi k$ или $\alpha = \pi - \beta + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Применим это к нашему уравнению, где $\alpha=17x$ и $\beta=3x$.

Рассмотрим два случая:

1) $17x = 3x + 2\pi k$

$14x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{14} = \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $17x = \pi - 3x + 2\pi n$

$20x = \pi + 2\pi n$

$x = \frac{\pi + 2\pi n}{20} = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений различны, и их объединение является ответом.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{7}$, $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.