Номер 28.30, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.30. a) $2 \sin^2 x + \cos 5x = 1$;

б) $2 \sin^2 3x - 1 = \cos^2 4x - \sin^2 4x$.

a) $2\sin^2 x + \cos 5x = 1$

Используем формулу понижения степени, которая является следствием из формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(1 - \cos 2x) + \cos 5x = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\cos 5x - \cos 2x = 0$

Перенесем $\cos 2x$ в правую часть:

$\cos 5x = \cos 2x$

Общее решение уравнения вида $\cos \alpha = \cos \beta$ задается совокупностью формул $\alpha = \beta + 2\pi n$ и $\alpha = -\beta + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1. $5x = 2x + 2\pi n$

$3x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $5x = -2x + 2\pi k$

$7x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Оба набора корней являются решением исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{2\pi n}{3}, x = \frac{2\pi k}{7}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin^2 3x - 1 = \cos^2 4x - \sin^2 4x$

Преобразуем обе части уравнения с помощью формул двойного угла для косинуса.

В левой части используем формулу $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha$, из которой следует, что $2\sin^2 \alpha - 1 = -\cos(2\alpha)$. Для $\alpha = 3x$ получаем:

$2\sin^2 3x - 1 = -\cos(2 \cdot 3x) = -\cos 6x$.

В правой части используем формулу $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. Для $\alpha = 4x$ получаем:

$\cos^2 4x - \sin^2 4x = \cos(2 \cdot 4x) = \cos 8x$.

После преобразования уравнение принимает вид:

$-\cos 6x = \cos 8x$

$\cos 8x + \cos 6x = 0$

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\cos\frac{8x+6x}{2}\cos\frac{8x-6x}{2} = 0$

$2\cos(7x)\cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность уравнений:

1. $\cos(7x) = 0$

$7x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, не является ли вторая серия решений частью первой. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $7x = 7(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{7\pi}{2} + 7\pi k = \frac{\pi}{2} + 3\pi + 7\pi k = \frac{\pi}{2} + \pi(3+7k)$. Так как для любого целого $k$ число $(3+7k)$ является целым, то $\cos(7x) = \cos(\frac{\pi}{2} + \text{целое} \cdot \pi) = 0$. Это означает, что все корни вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ удовлетворяют уравнению $\cos(7x) = 0$ и, следовательно, вторая серия решений является подмножеством первой.

Таким образом, достаточно записать в ответ только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.