Номер 28.34, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.34. Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2,5):

a) $ \cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x; $

б) $ \sin 2x + 5 \sin 4x + \sin 6x = 0. $

a) $cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x$

Перенесем члены уравнения из одной части в другую, чтобы сгруппировать их для применения формул:

$cos 6x - cos 12x = cos 10x - cos 8x$

Воспользуемся формулой разности косинусов: $cos \alpha - cos \beta = -2 sin((\alpha+\beta)/2) sin((\alpha-\beta)/2)$.

Для левой части уравнения:

$cos 6x - cos 12x = -2 sin((6x+12x)/2) sin((6x-12x)/2) = -2 sin(9x) sin(-3x) = 2 sin(9x) sin(3x)$.

Для правой части уравнения:

$cos 10x - cos 8x = -2 sin((10x+8x)/2) sin((10x-8x)/2) = -2 sin(9x) sin(x)$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$2 sin(9x) sin(3x) = -2 sin(9x) sin(x)$

$2 sin(9x) sin(3x) + 2 sin(9x) sin(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2 sin(9x)$ за скобки:

$2 sin(9x) (sin(3x) + sin(x)) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $sin(9x) = 0$

2) $sin(3x) + sin(x) = 0$

Решим первое уравнение:

$sin(9x) = 0 \Rightarrow 9x = \pi n, n \in Z \Rightarrow x = \frac{\pi n}{9}$.

Решим второе уравнение, используя формулу суммы синусов $sin \alpha + sin \beta = 2 sin((\alpha+\beta)/2) cos((\alpha-\beta)/2)$:

$2 sin((3x+x)/2) cos((3x-x)/2) = 0$

$2 sin(2x) cos(x) = 0$

Это уравнение распадается еще на два:

2a) $sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \pi k, k \in Z \Rightarrow x = \frac{\pi k}{2}$.

2b) $cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in Z$. Заметим, что эта серия корней является подмножеством серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (при нечетных $k$).

Итак, все решения исходного уравнения задаются двумя сериями: $x = \frac{\pi n}{9}$ и $x = \frac{\pi k}{2}$, где $n, k$ — целые числа.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $(0; 2,5)$. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Для серии $x = \frac{\pi k}{2}$:

$0 < \frac{\pi k}{2} < 2,5 \Rightarrow 0 < \pi k < 5 \Rightarrow 0 < k < \frac{5}{\pi}$.

Так как $5/\pi \approx 5/3,14 \approx 1,59$, единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k=1$.

При $k=1$ получаем корень $x_1 = \frac{\pi}{2}$.

Для серии $x = \frac{\pi n}{9}$:

$0 < \frac{\pi n}{9} < 2,5 \Rightarrow 0 < \pi n < 22,5 \Rightarrow 0 < n < \frac{22,5}{\pi}$.

Так как $22,5/\pi \approx 22,5/3,14 \approx 7,16$, подходящие целые значения $n$ — это $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Получаем следующие корни:

$x_2 = \frac{\pi}{9}$

$x_3 = \frac{2\pi}{9}$

$x_4 = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3}$

$x_5 = \frac{4\pi}{9}$

$x_6 = \frac{5\pi}{9}$

$x_7 = \frac{6\pi}{9} = \frac{2\pi}{3}$

$x_8 = \frac{7\pi}{9}$

Все найденные значения находятся в интервале $(0; 2,5)$.

Ответ: $\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{9}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{9}$.

б) $sin 2x + 5 sin 4x + sin 6x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые:

$(sin 6x + sin 2x) + 5 sin 4x = 0$

Применим формулу суммы синусов $sin \alpha + sin \beta = 2 sin((\alpha+\beta)/2) cos((\alpha-\beta)/2)$ к выражению в скобках:

$sin 6x + sin 2x = 2 sin((6x+2x)/2) cos((6x-2x)/2) = 2 sin(4x) cos(2x)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2 sin(4x) cos(2x) + 5 sin(4x) = 0$

Вынесем общий множитель $sin(4x)$ за скобки:

$sin(4x) (2 cos(2x) + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $sin(4x) = 0$

2) $2 cos(2x) + 5 = 0$

Решим первое уравнение:

$sin(4x) = 0 \Rightarrow 4x = \pi k, k \in Z \Rightarrow x = \frac{\pi k}{4}$.

Решим второе уравнение:

$2 cos(2x) = -5 \Rightarrow cos(2x) = -2,5$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1; 1]$, а $-2,5$ не входит в этот промежуток.

Следовательно, решения исходного уравнения задаются только серией $x = \frac{\pi k}{4}$.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $(0; 2,5)$.

$0 < \frac{\pi k}{4} < 2,5 \Rightarrow 0 < \pi k < 10 \Rightarrow 0 < k < \frac{10}{\pi}$.

Так как $10/\pi \approx 10/3,14 \approx 3,18$, подходящие целые значения $k$ — это $1, 2, 3$.

При $k=1$ получаем корень $x_1 = \frac{\pi}{4}$.

При $k=2$ получаем корень $x_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

При $k=3$ получаем корень $x_3 = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=4$ корень $x = \pi \approx 3,14$ уже не входит в заданный промежуток.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}$.