Номер 28.38, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.38. Постройте график уравнения:

a) $sin 2x = sin 2y$;

б) $cos 2x = cos 2y$.

Графики таких уравнений представляют собой бесконечную сетку прямых линий. Чтобы их построить, нужно свести тригонометрическое уравнение к простейшим линейным зависимостям между $x$ и $y$.

а) $\sin 2x = \sin 2y$

Перенесем всё в левую часть и воспользуемся формулой разности синусов:

$\sin 2x - \sin 2y = 0 \Rightarrow 2\sin(x - y)\cos(x + y) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\sin(x - y) = 0 \Rightarrow x - y = \pi k \Rightarrow \mathbf{y = x - \pi k}$
2. $\cos(x + y) = 0 \Rightarrow x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow \mathbf{y = -x + \frac{\pi}{2} + \pi n}$

Графиком является совокупность двух семейств параллельных прямых. Первое семейство — это прямые, идущие под углом 45° к оси $Ox$, второе — под углом 135°. Вместе они образуют сетку из квадратов (ромбов).

б) $\cos 2x = \cos 2y$

Воспользуемся формулой разности косинусов:

$\cos 2x - \cos 2y = 0 \Rightarrow -2\sin(x - y)\sin(x + y) = 0$

Здесь также два случая:

1. $\sin(x - y) = 0 \Rightarrow x - y = \pi k \Rightarrow \mathbf{y = x - \pi k}$
2. $\sin(x + y) = 0 \Rightarrow x + y = \pi n \Rightarrow \mathbf{y = -x + \pi n}$

Этот график похож на предыдущий, но узлы сетки смещены. Прямые проходят через начало координат (при $k=0$ и $n=0$), образуя "сетку", где центры ячеек находятся в других точках по сравнению с пунктом "а".