Номер 29.7, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

29.7. a) $2 \sin t \sin 2t + \cos 3t = \cos t;$

б) $\sin \alpha - 2 \sin \left(\frac{\alpha}{2} - 15^{\circ}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2} + 15^{\circ}\right) = \frac{1}{2}.$

а) Докажем тождество $2 \sin t \sin 2t + \cos 3t = \cos t$.
Преобразуем левую часть равенства. Для этого воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:
$2 \sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y)$
Применим эту формулу к выражению $2 \sin t \sin 2t$, где $x=2t$ и $y=t$:
$2 \sin 2t \sin t = \cos(2t - t) - \cos(2t + t) = \cos t - \cos 3t$
Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:
$2 \sin t \sin 2t + \cos 3t = (\cos t - \cos 3t) + \cos 3t$
Упростим выражение, сократив $-\cos 3t$ и $+\cos 3t$:
$\cos t - \cos 3t + \cos 3t = \cos t$
В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $\cos t = \cos t$.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $\sin \alpha - 2 \sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) \cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \frac{1}{2}$.
Преобразуем левую часть равенства. Рассмотрим второе слагаемое $2 \sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) \cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ)$.
Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов:
$2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$
Применим эту формулу, где $x = \frac{\alpha}{2} - 15^\circ$ и $y = \frac{\alpha}{2} + 15^\circ$:
$2 \sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) \cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \sin((\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) + (\frac{\alpha}{2} + 15^\circ)) + \sin((\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) - (\frac{\alpha}{2} + 15^\circ))$
Упростим аргументы синусов:
$\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} - 15^\circ + 15^\circ) + \sin(\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} - 15^\circ - 15^\circ) = \sin(\alpha) + \sin(-30^\circ)$
Так как синус — нечетная функция, $\sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Следовательно, $2 \sin(\frac{\alpha}{2} - 15^\circ) \cos(\frac{\alpha}{2} + 15^\circ) = \sin(\alpha) - \frac{1}{2}$.
Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:
$\sin \alpha - ( \sin(\alpha) - \frac{1}{2} )$
Раскроем скобки и упростим:
$\sin \alpha - \sin \alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Тождество доказано.