Номер 29.5, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.5. a) $\sin x \sin y \sin z;$

б) $\cos x \cos y \cos z.$

а)

Задача состоит в преобразовании произведения трех синусов в сумму. Для этого мы последовательно применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Основная формула, которую мы будем использовать, это формула произведения синусов:
$ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.

1. Сначала применим эту формулу к первым двум множителям $ \sin x \sin y $:
$ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.

2. Теперь исходное выражение можно записать как:
$ (\sin x \sin y) \sin z = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) \sin z $.
Раскроем скобки:
$ \frac{1}{2}\cos(x-y)\sin z - \frac{1}{2}\cos(x+y)\sin z $.

3. К каждому из полученных слагаемых применим формулу произведения косинуса на синус:
$ \cos A \sin B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) - \sin(A-B)) $.

Для первого слагаемого $ \frac{1}{2}\cos(x-y)\sin z $:
$ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}(\sin(x-y+z) - \sin(x-y-z)) \right] = \frac{1}{4}(\sin(x-y+z) - \sin(x-y-z)) $.

Для второго слагаемого $ -\frac{1}{2}\cos(x+y)\sin z $:
$ -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}(\sin(x+y+z) - \sin(x+y-z)) \right] = -\frac{1}{4}(\sin(x+y+z) - \sin(x+y-z)) $.

4. Сложим полученные результаты:
$ \frac{1}{4}(\sin(x-y+z) - \sin(x-y-z)) - \frac{1}{4}(\sin(x+y+z) - \sin(x+y-z)) $
$ = \frac{1}{4}(\sin(x-y+z) - \sin(x-y-z) - \sin(x+y+z) + \sin(x+y-z)) $.

Перегруппировав слагаемые, получим окончательный вид:
$ \frac{1}{4}(-\sin(x+y+z) + \sin(x+y-z) + \sin(x-y+z) - \sin(x-y-z)) $.

Ответ: $ \frac{1}{4}(-\sin(x+y+z) + \sin(x+y-z) + \sin(x-y+z) - \sin(x-y-z)) $.

б)

Задача состоит в преобразовании произведения трех косинусов в сумму. Мы будем использовать аналогичный подход, что и в пункте а).

Основная формула здесь — это формула произведения косинусов:
$ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B)) $.

1. Применим эту формулу к первым двум множителям $ \cos x \cos y $:
$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $.

2. Теперь исходное выражение можно записать как:
$ (\cos x \cos y) \cos z = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) \cos z $.
Раскроем скобки:
$ \frac{1}{2}\cos(x-y)\cos z + \frac{1}{2}\cos(x+y)\cos z $.

3. К каждому из полученных слагаемых снова применим формулу произведения косинусов.

Для первого слагаемого $ \frac{1}{2}\cos(x-y)\cos z $:
$ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}(\cos(x-y-z) + \cos(x-y+z)) \right] = \frac{1}{4}(\cos(x-y-z) + \cos(x-y+z)) $.

Для второго слагаемого $ \frac{1}{2}\cos(x+y)\cos z $:
$ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}(\cos(x+y-z) + \cos(x+y+z)) \right] = \frac{1}{4}(\cos(x+y-z) + \cos(x+y+z)) $.

4. Сложим полученные результаты:
$ \frac{1}{4}(\cos(x-y-z) + \cos(x-y+z)) + \frac{1}{4}(\cos(x+y-z) + \cos(x+y+z)) $
$ = \frac{1}{4}(\cos(x-y-z) + \cos(x-y+z) + \cos(x+y-z) + \cos(x+y+z)) $.

Перегруппировав слагаемые, получим окончательный вид:
$ \frac{1}{4}(\cos(x+y+z) + \cos(x+y-z) + \cos(x-y+z) + \cos(x-y-z)) $.

Ответ: $ \frac{1}{4}(\cos(x+y+z) + \cos(x+y-z) + \cos(x-y+z) + \cos(x-y-z)) $.