Номер 29.11, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.11. a) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \dots + \sin nx = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2} \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}};$

б) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \dots + \cos nx = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2} \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$

а)

Для нахождения суммы $S_n = \sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx$ умножим обе части этого равенства на $2 \sin \frac{x}{2}$. Мы предполагаем, что $\sin \frac{x}{2} \neq 0$, то есть $x \neq 2k\pi$ для любого целого $k$.

$2S_n \sin \frac{x}{2} = 2 \sin x \sin \frac{x}{2} + 2 \sin 2x \sin \frac{x}{2} + \dots + 2 \sin nx \sin \frac{x}{2}$.

Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части равенства. Общий член суммы имеет вид $2 \sin kx \sin \frac{x}{2}$:

$2 \sin kx \sin \frac{x}{2} = \cos\left(kx - \frac{x}{2}\right) - \cos\left(kx + \frac{x}{2}\right) = \cos\frac{(2k-1)x}{2} - \cos\frac{(2k+1)x}{2}$.

Теперь наша сумма принимает вид:

$2S_n \sin \frac{x}{2} = \left(\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2}\right) + \left(\cos\frac{3x}{2} - \cos\frac{5x}{2}\right) + \dots + \left(\cos\frac{(2n-1)x}{2} - \cos\frac{(2n+1)x}{2}\right)$.

Это телескопическая сумма, в которой все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются только первый и последний члены:

$2S_n \sin \frac{x}{2} = \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{(2n+1)x}{2}$.

Теперь применим формулу преобразования разности косинусов в произведение: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Пусть $\alpha = \frac{x}{2}$ и $\beta = \frac{(2n+1)x}{2}$. Тогда:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{x}{2} + \frac{(2n+1)x}{2}}{2} = \frac{(2n+2)x}{4} = \frac{(n+1)x}{2}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{x}{2} - \frac{(2n+1)x}{2}}{2} = \frac{-2nx}{4} = -\frac{nx}{2}$

Подставляя эти значения, получаем:

$\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{(2n+1)x}{2} = -2 \sin\frac{(n+1)x}{2} \sin\left(-\frac{nx}{2}\right) = 2 \sin\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}$.

Таким образом, мы имеем:

$2S_n \sin \frac{x}{2} = 2 \sin\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}$.

Разделив обе части на $2 \sin \frac{x}{2}$, мы получаем итоговую формулу:

$S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$.

Ответ: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \dots + \sin nx = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2} \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$.

б)

Для нахождения суммы $C_n = \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx$ используем аналогичный подход. Умножим обе части равенства на $2 \sin \frac{x}{2}$ (при условии, что $\sin \frac{x}{2} \neq 0$, то есть $x \neq 2k\pi$ для любого целого $k$).

$2C_n \sin \frac{x}{2} = 2 \cos x \sin \frac{x}{2} + 2 \cos 2x \sin \frac{x}{2} + \dots + 2 \cos nx \sin \frac{x}{2}$.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинуса и синуса в разность синусов: $2 \cos A \sin B = \sin(A + B) - \sin(A - B)$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части. Общий член суммы имеет вид $2 \cos kx \sin \frac{x}{2}$:

$2 \cos kx \sin \frac{x}{2} = \sin\left(kx + \frac{x}{2}\right) - \sin\left(kx - \frac{x}{2}\right) = \sin\frac{(2k+1)x}{2} - \sin\frac{(2k-1)x}{2}$.

Теперь наша сумма принимает вид:

$2C_n \sin \frac{x}{2} = \left(\sin\frac{3x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right) + \left(\sin\frac{5x}{2} - \sin\frac{3x}{2}\right) + \dots + \left(\sin\frac{(2n+1)x}{2} - \sin\frac{(2n-1)x}{2}\right)$.

Это также телескопическая сумма. После сокращения промежуточных членов остаются только последний и первый (с обратным знаком):

$2C_n \sin \frac{x}{2} = \sin\frac{(2n+1)x}{2} - \sin\frac{x}{2}$.

Теперь применим формулу преобразования разности синусов в произведение: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Пусть $\alpha = \frac{(2n+1)x}{2}$ и $\beta = \frac{x}{2}$. Тогда:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{(2n+1)x}{2} + \frac{x}{2}}{2} = \frac{(2n+2)x}{4} = \frac{(n+1)x}{2}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{(2n+1)x}{2} - \frac{x}{2}}{2} = \frac{2nx}{4} = \frac{nx}{2}$

Подставляя эти значения, получаем:

$\sin\frac{(2n+1)x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 2 \cos\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}$.

Таким образом, мы имеем:

$2C_n \sin \frac{x}{2} = 2 \cos\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}$.

Разделив обе части на $2 \sin \frac{x}{2}$, мы получаем итоговую формулу:

$C_n = \frac{\cos\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$.

Ответ: $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \dots + \cos nx = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2} \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$.