Номер 29.12, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

29.12. a) $ \cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ - \cos 4^\circ \cos 2^\circ; $

б) $ \sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cos 70^\circ .$

а)

Рассмотрим выражение: $ \cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ - \cos 4^\circ \cos 2^\circ $.

Для упрощения этого выражения воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:
1. Формула понижения степени для косинуса: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.
2. Формула преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

Применим формулу понижения степени к первым двум слагаемым:
$ \cos^2 3^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 3^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 6^\circ}{2} $
$ \cos^2 1^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 1^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos 2^\circ}{2} $

Применим формулу преобразования произведения в сумму к третьему слагаемому:
$ \cos 4^\circ \cos 2^\circ = \frac{1}{2}(\cos(4^\circ - 2^\circ) + \cos(4^\circ + 2^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 2^\circ + \cos 6^\circ) $

Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$ (\frac{1 + \cos 6^\circ}{2}) + (\frac{1 + \cos 2^\circ}{2}) - \frac{1}{2}(\cos 2^\circ + \cos 6^\circ) $

Раскроем скобки и упростим:
$ \frac{1}{2} + \frac{\cos 6^\circ}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\cos 2^\circ}{2} - \frac{\cos 2^\circ}{2} - \frac{\cos 6^\circ}{2} $

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:
$ (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{\cos 6^\circ}{2} - \frac{\cos 6^\circ}{2}) + (\frac{\cos 2^\circ}{2} - \frac{\cos 2^\circ}{2}) = 1 + 0 + 0 = 1 $

Ответ: 1

б)

Рассмотрим выражение: $ \sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cos 70^\circ $.

Представим аргументы косинусов через углы $ 60^\circ $ и $ 10^\circ $:
$ \cos 50^\circ = \cos(60^\circ - 10^\circ) $
$ \cos 70^\circ = \cos(60^\circ + 10^\circ) $

Тогда произведение $ \cos 50^\circ \cos 70^\circ $ можно переписать как $ \cos(60^\circ - 10^\circ) \cos(60^\circ + 10^\circ) $.

Воспользуемся формулой произведения косинусов разности и суммы углов: $ \cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta $.
В нашем случае $ \alpha = 60^\circ $ и $ \beta = 10^\circ $.
$ \cos(60^\circ - 10^\circ) \cos(60^\circ + 10^\circ) = \cos^2 60^\circ - \sin^2 10^\circ $

Мы знаем, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $. Подставим это значение:
$ \cos^2 60^\circ - \sin^2 10^\circ = (\frac{1}{2})^2 - \sin^2 10^\circ = \frac{1}{4} - \sin^2 10^\circ $

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \sin^2 10^\circ + (\frac{1}{4} - \sin^2 10^\circ) $

Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:
$ \sin^2 10^\circ + \frac{1}{4} - \sin^2 10^\circ = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $