Номер 29.13, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.13. a) $ \frac{1}{2 \sin 10^{\circ}} - 2 \sin 70^{\circ} $

б) $ \frac{\operatorname{tg} 60^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} + 4 \cos 100^{\circ} $

а) Упростим выражение $ \frac{1}{2 \sin 10^\circ} - 2 \sin 70^\circ $.
Используем формулу приведения $\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$. Выражение принимает вид:
$ \frac{1}{2 \sin 10^\circ} - 2 \cos 20^\circ $
Приведем к общему знаменателю $2 \sin 10^\circ$:
$ \frac{1 - 4 \sin 10^\circ \cos 20^\circ}{2 \sin 10^\circ} $
Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
$4 \sin 10^\circ \cos 20^\circ = 2(2 \sin 10^\circ \cos 20^\circ) = 2(\sin(10^\circ+20^\circ) + \sin(10^\circ-20^\circ)) = 2(\sin 30^\circ + \sin(-10^\circ))$.
Так как $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$2(\frac{1}{2} - \sin 10^\circ) = 1 - 2 \sin 10^\circ$.
Подставим это выражение в числитель:
$1 - (1 - 2 \sin 10^\circ) = 1 - 1 + 2 \sin 10^\circ = 2 \sin 10^\circ$.
Таким образом, вся дробь равна:
$\frac{2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = 1$.
Ответ: 1.

б) Упростим выражение $ \frac{\tg 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ $.
Подставим значение $ \tg 60^\circ = \sqrt{3} $:
$ \frac{\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ $
Приведем к общему знаменателю $ \sin 40^\circ $:
$ \frac{\sqrt{3} + 4 \cos 100^\circ \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} $
Воспользуемся формулой преобразования произведения косинуса на синус: $2 \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)$.
$4 \cos 100^\circ \sin 40^\circ = 2(2 \cos 100^\circ \sin 40^\circ) = 2(\sin(100^\circ + 40^\circ) - \sin(100^\circ - 40^\circ)) = 2(\sin 140^\circ - \sin 60^\circ)$.
Применим формулу приведения $\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$ и подставим значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$2(\sin 40^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \sin 40^\circ - \sqrt{3}$.
Подставим это выражение в числитель:
$\sqrt{3} + (2 \sin 40^\circ - \sqrt{3}) = 2 \sin 40^\circ$.
Таким образом, вся дробь равна:
$\frac{2 \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} = 2$.
Ответ: 2.