Номер 29.19, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.19. а) Зная, что $\cos x = \frac{3}{4}$, вычислите $16 \sin \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2}$;

б) Зная, что $\cos x = -\frac{3}{5}$, $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, вычислите $125 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{5x}{2}$.

а) Для вычисления выражения $16\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}$ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.

В нашем случае $\alpha = \frac{3x}{2}$ и $\beta = \frac{x}{2}$.

Преобразуем выражение:

$16\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2} = 8 \cdot \left(2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}\right) = 8\left(\cos\left(\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}\right)\right) = 8(\cos x - \cos 2x)$.

По условию нам дано, что $\cos x = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем $\cos 2x$, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

$\cos 2x = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} - 1 = \frac{18}{16} - 1 = \frac{9}{8} - \frac{8}{8} = \frac{1}{8}$.

Подставим найденные значения в преобразованное выражение:

$8(\cos x - \cos 2x) = 8\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{8}\right) = 8\left(\frac{6}{8} - \frac{1}{8}\right) = 8 \cdot \frac{5}{8} = 5$.

Ответ: 5

б) Для вычисления выражения $125\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2}$ воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$ и $\beta = \frac{5x}{2}$.

Преобразуем выражение:

$125\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2} = \frac{125}{2} \cdot \left(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2}\right) = \frac{125}{2}\left(\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{5x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{2}-\frac{5x}{2}\right)\right)$.

$\frac{125}{2}\left(\sin\frac{6x}{2} + \sin\frac{-4x}{2}\right) = \frac{125}{2}(\sin 3x + \sin(-2x))$.

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-2x) = -\sin 2x$. Получаем:

$\frac{125}{2}(\sin 3x - \sin 2x)$.

По условию $\cos x = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ (II четверть). В этой четверти $\sin x > 0$.

Найдем $\sin x$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Теперь найдем $\sin 2x$ и $\cos 2x$:

$\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$.

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$.

Далее найдем $\sin 3x$ по формуле синуса суммы $\sin(2x+x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$:

$\sin 3x = \left(-\frac{24}{25}\right)\left(-\frac{3}{5}\right) + \left(-\frac{7}{25}\right)\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{72}{125} - \frac{28}{125} = \frac{44}{125}$.

Подставим значения $\sin 3x$ и $\sin 2x$ в итоговое выражение:

$\frac{125}{2}(\sin 3x - \sin 2x) = \frac{125}{2}\left(\frac{44}{125} - \left(-\frac{24}{25}\right)\right) = \frac{125}{2}\left(\frac{44}{125} + \frac{24}{25}\right)$.

Приведем дроби к общему знаменателю 125:

$\frac{125}{2}\left(\frac{44}{125} + \frac{24 \cdot 5}{25 \cdot 5}\right) = \frac{125}{2}\left(\frac{44}{125} + \frac{120}{125}\right) = \frac{125}{2} \cdot \frac{44+120}{125} = \frac{125}{2} \cdot \frac{164}{125} = \frac{164}{2} = 82$.

Ответ: 82