Номер 28.37, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.37. Постройте график функции:

a) $y = 1,5 \left( \cos \frac{9x + 10\pi}{6} + \cos \frac{9x - 10\pi}{6} \right);$

б) $y = 2 \left( \sin \frac{9x + 2\pi}{3} + \sin \frac{9x - 2\pi}{3} \right).$

а) Для построения графика функции $y = 1,5\left(\cos\frac{9x + 10\pi}{6} + \cos\frac{9x - 10\pi}{6}\right)$ необходимо сначала упростить выражение. Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$.

В данном случае пусть $\alpha = \frac{9x + 10\pi}{6}$ и $\beta = \frac{9x - 10\pi}{6}$. Найдем полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9x + 10\pi}{6} + \frac{9x - 10\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{18x}{6}\right) = \frac{3x}{2}$.
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9x + 10\pi}{6} - \frac{9x - 10\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{20\pi}{6}\right) = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходную функцию: $y = 1,5 \cdot \left(2 \cos\left(\frac{3x}{2}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right)$.
Зная, что $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y = 1,5 \cdot \left(2 \cos\left(\frac{3x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) = 1,5 \cos\left(\frac{3x}{2}\right)$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = 1,5 \cos(1,5x)$. Это график косинуса со следующими характеристиками:

• Амплитуда $A = 1,5$. Это означает, что все значения функции находятся в диапазоне $[-1,5; 1,5]$.
• Период $T = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{1,5} = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3}$.
• Горизонтального и вертикального сдвигов нет.

Для построения графика можно выполнить следующие преобразования над графиком $y = \cos x$:
1. Сжать график по оси $Ox$ в 1,5 раза. Период функции уменьшится с $2\pi$ до $\frac{4\pi}{3}$.
2. Растянуть график по оси $Oy$ в 1,5 раза. Амплитуда увеличится с 1 до 1,5.

Ключевые точки на одном периоде $[0; \frac{4\pi}{3}]$:

• Максимум в $x=0$, $y=1,5$.
• Пересечение с осью $Ox$ (нуль функции) в $x=\frac{\pi}{3}$, $y=0$.
• Минимум в $x=\frac{2\pi}{3}$, $y=-1,5$.
• Пересечение с осью $Ox$ (нуль функции) в $x=\pi$, $y=0$.
• Максимум в $x=\frac{4\pi}{3}$, $y=1,5$.

Ответ: График функции представляет собой косинусоиду $y = 1,5 \cos(1,5x)$ с амплитудой 1,5 и периодом $\frac{4\pi}{3}$.

б) Для построения графика функции $y = 2\left(\sin\frac{9x + 2\pi}{3} + \sin\frac{9x - 2\pi}{3}\right)$ также сначала упростим выражение. Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$.

В данном случае пусть $\alpha = \frac{9x + 2\pi}{3}$ и $\beta = \frac{9x - 2\pi}{3}$. Найдем полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9x + 2\pi}{3} + \frac{9x - 2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{18x}{3}\right) = 3x$.
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9x + 2\pi}{3} - \frac{9x - 2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим полученные значения в исходную функцию: $y = 2 \cdot \left(2 \sin(3x) \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)$.
Зная, что $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$y = 2 \cdot \left(2 \sin(3x) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 2(-\sin(3x)) = -2 \sin(3x)$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = -2 \sin(3x)$. Это график синуса со следующими характеристиками:

• Амплитуда $A = |-2| = 2$. Все значения функции находятся в диапазоне $[-2; 2]$.
• Период $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.
• Знак "минус" перед функцией означает отражение графика относительно оси $Ox$.
• Горизонтального и вертикального сдвигов нет.

Для построения графика можно выполнить следующие преобразования над графиком $y = \sin x$:
1. Сжать график по оси $Ox$ в 3 раза. Период функции уменьшится с $2\pi$ до $\frac{2\pi}{3}$.
2. Растянуть график по оси $Oy$ в 2 раза. Амплитуда увеличится с 1 до 2.
3. Отразить полученный график относительно оси $Ox$.

Ключевые точки на одном периоде $[0; \frac{2\pi}{3}]$:

• Пересечение с осью $Ox$ в $x=0$, $y=0$.
• Минимум в $x=\frac{\pi}{6}$, $y=-2$.
• Пересечение с осью $Ox$ в $x=\frac{\pi}{3}$, $y=0$.
• Максимум в $x=\frac{\pi}{2}$, $y=2$.
• Пересечение с осью $Ox$ в $x=\frac{2\pi}{3}$, $y=0$.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду $y = -2 \sin(3x)$, отраженную относительно оси абсцисс, с амплитудой 2 и периодом $\frac{2\pi}{3}$.