Номер 28.32, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.32. a) $\sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0;$

б) $\sin 5x + \sin x + 2\sin^2 x = 1.$

a) $\sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Получаем:

$(\sin 3x + \sin x) + (\cos 3x + \cos x) = 0$

$2 \sin\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} + 2 \cos\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} = 0$

$2 \sin(2x) \cos(x) + 2 \cos(2x) \cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2 \cos(x)$ за скобки:

$2 \cos(x) (\sin(2x) + \cos(2x)) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos(x) = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(2x) + \cos(2x) = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $\cos(2x)$, предполагая, что $\cos(2x) \neq 0$. Если бы $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin(2x)=0$, что невозможно, так как $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} + \frac{\cos(2x)}{\cos(2x)} = 0$

$\tan(2x) + 1 = 0$

$\tan(2x) = -1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 5x + \sin x + 2 \sin^2 x = 1$

Перенесем слагаемое $2 \sin^2 x$ в правую часть уравнения:

$\sin 5x + \sin x = 1 - 2 \sin^2 x$

В левой части применим формулу суммы синусов, а в правой части — формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

$2 \sin\frac{5x+x}{2} \cos\frac{5x-x}{2} = \cos(2x)$

$2 \sin(3x) \cos(2x) = \cos(2x)$

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $\cos(2x)$ за скобки:

$2 \sin(3x) \cos(2x) - \cos(2x) = 0$

$\cos(2x) (2 \sin(3x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos(2x) = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \sin(3x) - 1 = 0$

$\sin(3x) = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$3x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$3x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.