Номер 28.25, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.25. Докажите:

а) если $\cos^2 x + \cos^2 y = m$, то $\cos(x + y) \cos(x - y) = m - 1$;

б) если $\cos^2 (x + y) + \sin^2 x + \sin^2 y = m$, то $\sin x \sin y \cos(x + y) = \frac{1 - m}{2}$.

а) Требуется доказать, что если $\cos^2 x + \cos^2 y = m$, то $\cos(x + y) \cos(x - y) = m - 1$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства $\cos(x + y) \cos(x - y)$.

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности аргументов:

$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

Перемножим эти два выражения:

$\cos(x + y) \cos(x - y) = (\cos x \cos y - \sin x \sin y)(\cos x \cos y + \sin x \sin y)$

Это выражение является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \cos x \cos y$ и $b = \sin x \sin y$.

$\cos(x + y) \cos(x - y) = (\cos x \cos y)^2 - (\sin x \sin y)^2 = \cos^2 x \cos^2 y - \sin^2 x \sin^2 y$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$, чтобы выразить $\sin^2 x$ и $\sin^2 y$ через косинусы:

$\cos^2 x \cos^2 y - (1 - \cos^2 x)(1 - \cos^2 y)$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$\cos^2 x \cos^2 y - (1 - \cos^2 y - \cos^2 x + \cos^2 x \cos^2 y)$

Теперь раскроем скобки полностью и приведем подобные члены:

$\cos^2 x \cos^2 y - 1 + \cos^2 y + \cos^2 x - \cos^2 x \cos^2 y = \cos^2 x + \cos^2 y - 1$

По условию задачи, $\cos^2 x + \cos^2 y = m$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\cos^2 x + \cos^2 y - 1 = m - 1$

Таким образом, мы показали, что $\cos(x + y) \cos(x - y) = m - 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б) Требуется доказать, что если $\cos^2(x + y) + \sin^2 x + \sin^2 y = m$, то $\sin x \sin y \cos(x + y) = \frac{1 - m}{2}$.

Начнем с преобразования исходного равенства. Преобразуем сумму $\sin^2 x + \sin^2 y$, используя формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\sin^2 x + \sin^2 y = \frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2y)}{2} = \frac{1 - \cos(2x) + 1 - \cos(2y)}{2} = \frac{2 - (\cos(2x) + \cos(2y))}{2} = 1 - \frac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2}$

Далее, применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos(2x) + \cos(2y) = 2\cos\frac{2x+2y}{2}\cos\frac{2x-2y}{2} = 2\cos(x+y)\cos(x-y)$

Подставим это в выражение для суммы квадратов синусов:

$\sin^2 x + \sin^2 y = 1 - \frac{2\cos(x+y)\cos(x-y)}{2} = 1 - \cos(x+y)\cos(x-y)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное равенство из условия задачи:

$\cos^2(x + y) + (1 - \cos(x+y)\cos(x-y)) = m$

Из этого равенства можно выразить произведение $\cos(x+y)\cos(x-y)$:

$\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2(x+y) + 1 - m$

Теперь рассмотрим левую часть равенства, которое нам нужно доказать: $\sin x \sin y \cos(x + y)$.

Используем формулу произведения синусов $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$:

$\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$

Тогда выражение, которое мы доказываем, можно записать так:

$\sin x \sin y \cos(x + y) = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))\cos(x+y) = \frac{1}{2}(\cos(x-y)\cos(x+y) - \cos^2(x+y))$

В это выражение подставим найденное ранее соотношение для $\cos(x+y)\cos(x-y)$:

$\frac{1}{2}((\cos^2(x+y) + 1 - m) - \cos^2(x+y))$

Упрощая выражение в скобках, получаем:

$\frac{1}{2}(1 - m) = \frac{1-m}{2}$

Таким образом, мы показали, что $\sin x \sin y \cos(x + y) = \frac{1 - m}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.