Номер 28.28, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.28. а) $sin 3x = cos 2x$;

б) $sin (5\pi - x) = cos (2x + 7\pi)$;

в) $cos 5x = sin 15x$;

г) $sin (7\pi + x) = cos (9\pi + 2x)$.

а) sin 3x = cos 2x

Для решения уравнения приведем обе функции к одной, например, к синусу. Воспользуемся формулой приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Заменим $cos(2x)$ на $sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$. Уравнение примет вид:

$sin(3x) = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$

Равенство синусов $sin(A) = sin(B)$ справедливо в двух случаях, которые можно объединить одной формулой: $A = (-1)^k B + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$3x = (-1)^k (\frac{\pi}{2} - 2x) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.

1. Если $k$ — четное число, т.е. $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$:
$3x = (-1)^{2n} (\frac{\pi}{2} - 2x) + \pi(2n)$
$3x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi n$
$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$

2. Если $k$ — нечетное число, т.е. $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$:
$3x = (-1)^{2n+1} (\frac{\pi}{2} - 2x) + \pi(2n+1)$
$3x = -(\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi n + \pi$
$3x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi n + \pi$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) sin(5? ? x) = cos(2x + 7?)

Сначала упростим аргументы тригонометрических функций, используя формулы приведения.

Для левой части: $sin(5\pi - x) = sin(4\pi + \pi - x) = sin(\pi - x) = sin(x)$.

Для правой части: $cos(2x + 7\pi) = cos(2x + 6\pi + \pi) = cos(2x + \pi) = -cos(2x)$.

Уравнение принимает вид: $sin(x) = -cos(2x)$.

Используем формулу $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ и свойство нечетности синуса $-sin(\beta) = sin(-\beta)$.

$sin(x) = -sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = sin(-(\frac{\pi}{2} - 2x)) = sin(2x - \frac{\pi}{2})$.

Получили уравнение $sin(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2})$.

Решаем его по общей формуле $A = (-1)^k B + \pi k$:

$x = (-1)^k (2x - \frac{\pi}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1. Если $k = 2n$, $n \in \mathbb{Z}$:
$x = (2x - \frac{\pi}{2}) + 2\pi n$
$-x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$ (или $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$)

2. Если $k = 2n + 1$, $n \in \mathbb{Z}$:
$x = -(2x - \frac{\pi}{2}) + \pi(2n + 1)$
$x = -2x + \frac{\pi}{2} + 2\pi n + \pi$
$3x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$

Заметим, что первая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$) является частным случаем второй серии при $n=3m$. Поэтому все решения можно объединить в одну формулу.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) cos 5x = sin 15x

Приведем уравнение к одной функции, используя $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

$sin(\frac{\pi}{2} - 5x) = sin(15x)$

Применяем общую формулу для равенства синусов: $\frac{\pi}{2} - 5x = (-1)^k (15x) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1. Если $k = 2n$, $n \in \mathbb{Z}$:
$\frac{\pi}{2} - 5x = 15x + 2\pi n$
$20x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{40} - \frac{\pi n}{10}$ (или $x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi m}{10}$, $m \in \mathbb{Z}$)

2. Если $k = 2n + 1$, $n \in \mathbb{Z}$:
$\frac{\pi}{2} - 5x = -15x + \pi(2n + 1)$
$10x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$10x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}$; $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) sin(7? + x) = cos(9? + 2x)

Упростим обе части уравнения с помощью формул приведения.

Левая часть: $sin(7\pi + x) = sin(\pi + x) = -sin(x)$.

Правая часть: $cos(9\pi + 2x) = cos(\pi + 2x) = -cos(2x)$.

Уравнение превращается в $-sin(x) = -cos(2x)$, что равносильно $sin(x) = cos(2x)$.

Это уравнение решается аналогично пункту а), только вместо $3x$ стоит $x$.

$sin(x) = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$

Применяем общую формулу: $x = (-1)^k (\frac{\pi}{2} - 2x) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1. Если $k = 2n$, $n \in \mathbb{Z}$:
$x = (\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

2. Если $k = 2n + 1$, $n \in \mathbb{Z}$:
$x = -(\frac{\pi}{2} - 2x) + \pi(2n+1)$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi n + \pi$
$-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi n$ (или $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$)

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.