Номер 28.23, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.23. a) Зная, что $ \sin 2x + \sin 2y = a, \cos 2x + \cos 2y = b (a \neq 0, b \neq 0) $, вычислите $ \operatorname{tg}(x + y) $;

б) Зная, что $ \sin x - \sin y = a, \cos x - \cos y = b (a \neq 0, b \neq 0) $, вычислите $ \operatorname{ctg} \frac{x+y}{2} $.

а)

Дано:

$ \sin 2x + \sin 2y = a $

$ \cos 2x + \cos 2y = b $

Для решения используем формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

Применим эти формулы к данным уравнениям, подставив $ \alpha = 2x $ и $ \beta = 2y $:

$ \sin 2x + \sin 2y = 2 \sin \frac{2x + 2y}{2} \cos \frac{2x - 2y}{2} = 2 \sin(x+y) \cos(x-y) = a $

$ \cos 2x + \cos 2y = 2 \cos \frac{2x + 2y}{2} \cos \frac{2x - 2y}{2} = 2 \cos(x+y) \cos(x-y) = b $

Получили систему уравнений:

1) $ 2 \sin(x+y) \cos(x-y) = a $

2) $ 2 \cos(x+y) \cos(x-y) = b $

Поскольку по условию $ b \neq 0 $, мы можем разделить первое уравнение на второе. Заметим, что если бы $ \cos(x-y) = 0 $, то из уравнений следовало бы, что $ a = 0 $ и $ b = 0 $, что противоречит условию. Значит, $ \cos(x-y) \neq 0 $, и мы можем сократить на этот множитель.

$ \frac{2 \sin(x+y) \cos(x-y)}{2 \cos(x+y) \cos(x-y)} = \frac{a}{b} $

После сокращения получаем:

$ \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} = \frac{a}{b} $

Так как $ \tg(x+y) = \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} $, то

$ \tg(x+y) = \frac{a}{b} $

Ответ: $ \frac{a}{b} $.

б)

Дано:

$ \sin x - \sin y = a $

$ \cos x - \cos y = b $

Для решения используем формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $

$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $

Применим эти формулы к данным уравнениям, подставив $ \alpha = x $ и $ \beta = y $:

$ \sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} = a $

$ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} = b $

Получили систему уравнений:

1) $ 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} = a $

2) $ -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} = b $

Поскольку по условию $ b \neq 0 $, разделим первое уравнение на второе. Если предположить, что $ \sin \frac{x-y}{2} = 0 $, то $ a=0 $ и $ b=0 $, что противоречит условию. Значит, $ \sin \frac{x-y}{2} \neq 0 $, и мы можем сократить на этот множитель.

$ \frac{2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}}{-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}} = \frac{a}{b} $

После сокращения получаем:

$ \frac{\cos \frac{x+y}{2}}{-\sin \frac{x+y}{2}} = \frac{a}{b} $

$ -\ctg \frac{x+y}{2} = \frac{a}{b} $

Отсюда выражаем искомый котангенс:

$ \ctg \frac{x+y}{2} = -\frac{a}{b} $

Ответ: $ -\frac{a}{b} $.