Номер 28.18, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Проверьте равенство:

28.18. a) $\sin 35^{\circ} + \sin 25^{\circ} = \cos 5^{\circ}$;

б) $\sin 40^{\circ} + \cos 70^{\circ} = \cos 10^{\circ}$;

в) $\cos 12^{\circ} - \cos 48^{\circ} = \sin 18^{\circ}$;

г) $\cos 20^{\circ} - \sin 50^{\circ} = \sin 10^{\circ}$.

а) Проверим равенство $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$.

Для преобразования левой части равенства воспользуемся формулой суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

В нашем случае $\alpha = 35^\circ$ и $\beta = 25^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\left(\frac{35^\circ + 25^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{35^\circ - 25^\circ}{2}\right)$

Вычислим значения в скобках:

$\frac{35^\circ + 25^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

$\frac{35^\circ - 25^\circ}{2} = \frac{10^\circ}{2} = 5^\circ$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$2 \sin(30^\circ) \cos(5^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(5^\circ) = \cos(5^\circ)$

Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\cos(5^\circ) = \cos(5^\circ)$.

Ответ: равенство верно.

б) Проверим равенство $\sin 40^\circ + \cos 70^\circ = \cos 10^\circ$.

Сначала преобразуем $\cos 70^\circ$ с помощью формулы приведения $\cos x = \sin(90^\circ - x)$:

$\cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ$

Теперь исходное равенство принимает вид:

$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = \cos 10^\circ$

Воспользуемся формулой суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$, где $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 20^\circ$.

$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin\left(\frac{40^\circ + 20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ - 20^\circ}{2}\right)$

$= 2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{20^\circ}{2}\right) = 2 \sin(30^\circ) \cos(10^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(10^\circ) = \cos(10^\circ)$

Левая часть равна правой: $\cos(10^\circ) = \cos(10^\circ)$.

Ответ: равенство верно.

в) Проверим равенство $\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$.

Для преобразования левой части воспользуемся формулой разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

В нашем случае $\alpha = 12^\circ$ и $\beta = 48^\circ$.

$\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = -2 \sin\left(\frac{12^\circ + 48^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{12^\circ - 48^\circ}{2}\right)$

$= -2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-36^\circ}{2}\right) = -2 \sin(30^\circ) \sin(-18^\circ)$

Используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$:

$-2 \sin(30^\circ) (-\sin(18^\circ)) = 2 \sin(30^\circ) \sin(18^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(18^\circ) = \sin(18^\circ)$

Левая часть равна правой: $\sin(18^\circ) = \sin(18^\circ)$.

Ответ: равенство верно.

г) Проверим равенство $\cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ$.

Преобразуем $\sin 50^\circ$ с помощью формулы приведения $\sin x = \cos(90^\circ - x)$:

$\sin 50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$

Исходное равенство принимает вид:

$\cos 20^\circ - \cos 40^\circ = \sin 10^\circ$

Воспользуемся формулой разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$, где $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 40^\circ$.

$\cos 20^\circ - \cos 40^\circ = -2 \sin\left(\frac{20^\circ + 40^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{20^\circ - 40^\circ}{2}\right)$

$= -2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) = -2 \sin(30^\circ) \sin(-10^\circ)$

Используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$:

$-2 \sin(30^\circ) (-\sin(10^\circ)) = 2 \sin(30^\circ) \sin(10^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(10^\circ) = \sin(10^\circ)$

Левая часть равна правой: $\sin(10^\circ) = \sin(10^\circ)$.

Ответ: равенство верно.