Номер 28.24, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.24. Докажите:

а) если $2 \operatorname{sin} x = \operatorname{sin} (x + 2y)$, то $\operatorname{tg}(x + y) = 3 \operatorname{tg} y$;

б) если $2 \operatorname{cos} x = \operatorname{cos} (x + 2y)$, то $\operatorname{ctg}(x + y) - 2 \operatorname{tg} x = $
$= \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y$.

а)

Дано: $2\sin x = \sin(x + 2y)$. Нужно доказать, что $\tan(x + y) = 3\tan y$.

Для доказательства представим аргументы $x$ и $x+2y$ через вспомогательные углы, используя $x+y$ и $y$:

$x = (x+y) - y$

$x+2y = (x+y) + y$

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$2\sin((x+y) - y) = \sin((x+y) + y)$

Теперь применим формулы синуса суммы и разности: $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$.

$2(\sin(x+y)\cos y - \cos(x+y)\sin y) = \sin(x+y)\cos y + \cos(x+y)\sin y$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы собрать члены с $\sin(x+y)$ и $\cos(x+y)$ по разным сторонам равенства:

$2\sin(x+y)\cos y - 2\cos(x+y)\sin y = \sin(x+y)\cos y + \cos(x+y)\sin y$

$2\sin(x+y)\cos y - \sin(x+y)\cos y = \cos(x+y)\sin y + 2\cos(x+y)\sin y$

$\sin(x+y)\cos y = 3\cos(x+y)\sin y$

Для того чтобы получить тангенсы, разделим обе части равенства на $\cos(x+y)\cos y$, предполагая, что $\cos(x+y) \neq 0$ и $\cos y \neq 0$ (т.е. тангенсы $\tan(x+y)$ и $\tan y$ определены):

$\frac{\sin(x+y)\cos y}{\cos(x+y)\cos y} = \frac{3\cos(x+y)\sin y}{\cos(x+y)\cos y}$

После сокращения получаем:

$\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} = 3\frac{\sin y}{\cos y}$

$\tan(x+y) = 3\tan y$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Условие задачи гласит: если $2\cos x = \cos(x + 2y)$, то $\cot(x + y) - 2\tan x = \tan x + \cot y$. Данное равенство эквивалентно $\cot(x+y) = 3\tan x + \cot y$. Однако, как показывает проверка, это утверждение неверно для произвольных $x$ и $y$, удовлетворяющих исходному условию. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка. Наиболее вероятная правильная форма тождества, которая часто встречается в подобных задачах: $\cot(x + y) - 2\tan x = \cot y$. Докажем это исправленное утверждение.

Итак, докажем, что из $2\cos x = \cos(x + 2y)$ следует $\cot(x + y) - 2\tan x = \cot y$.

Перенесем $\cot y$ в левую часть, чтобы доказать эквивалентное тождество: $\cot(x + y) - \cot y = 2\tan x$.

Преобразуем левую часть, используя определение котангенса:

$\cot(x + y) - \cot y = \frac{\cos(x+y)}{\sin(x+y)} - \frac{\cos y}{\sin y}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{\cos(x+y)\sin y - \sin(x+y)\cos y}{\sin(x+y)\sin y}$

Числитель дроби представляет собой формулу синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, где $A=y$ и $B=x+y$:

$\sin y \cos(x+y) - \cos y \sin(x+y) = \sin(y - (x+y)) = \sin(-x) = -\sin x$

Таким образом, левая часть тождества равна:

$\frac{-\sin x}{\sin(x+y)\sin y}$

Теперь преобразуем исходное условие $2\cos x = \cos(x + 2y)$. Перепишем его как $\cos x + (\cos x - \cos(x+2y)) = 0$.

Используем формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$\cos x - \cos(x+2y) = -2\sin\left(\frac{x+x+2y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-(x+2y)}{2}\right) = -2\sin(x+y)\sin(-y) = 2\sin(x+y)\sin y$

Подставим это в преобразованное условие:

$\cos x + 2\sin(x+y)\sin y = 0$

Отсюда получаем: $\cos x = -2\sin(x+y)\sin y$.

Выразим знаменатель из нашей левой части: $\sin(x+y)\sin y = -\frac{\cos x}{2}$.

Подставим это выражение в преобразованную левую часть доказываемого тождества:

$\frac{-\sin x}{\sin(x+y)\sin y} = \frac{-\sin x}{-\frac{\cos x}{2}} = \frac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x$

Мы получили, что левая часть $\cot(x+y) - \cot y$ равна $2\tan x$, что является правой частью доказываемого тождества. Таким образом, исправленное утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано с исправлением опечатки в условии.