Номер 28.36, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28.36. Решите неравенство:

а) $ \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)<1; $

б) $ \cos \left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)>-\frac{1}{2}. $

28.37. Постройте графики функции:

а) $sin(x + \frac{\pi}{4}) + sin(x - \frac{\pi}{4}) < 1$

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой суммы синусов:

$sin(\alpha) + sin(\beta) = 2 sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$

В нашем случае $\alpha = x + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{4}$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(x + \frac{\pi}{4}) + (x - \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{2x}{2} = x$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(x + \frac{\pi}{4}) - (x - \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{2\pi/4}{2} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставим эти значения в формулу, и неравенство примет вид:

$2 sin(x) cos(\frac{\pi}{4}) < 1$

Зная, что $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$2 sin(x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$

$\sqrt{2} sin(x) < 1$

$sin(x) < \frac{1}{\sqrt{2}}$

$sin(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Корнями уравнения $sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности значения синуса (ординаты) меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют дуге, начинающейся в точке, соответствующей углу $\frac{3\pi}{4}$, и заканчивающейся в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{4}$ следующего оборота, то есть $2\pi+\frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$.

Таким образом, решение неравенства с учетом периодичности:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это решение можно также записать в виде, вычтя $2\pi$ из обеих границ:

$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(2x + \frac{\pi}{3}) + cos(2x - \frac{\pi}{3}) > -\frac{1}{2}$

Для решения этого неравенства воспользуемся формулой суммы косинусов:

$cos(\alpha) + cos(\beta) = 2 cos(\frac{\alpha+\beta}{2}) cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$

В нашем случае $\alpha = 2x + \frac{\pi}{3}$ и $\beta = 2x - \frac{\pi}{3}$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(2x + \frac{\pi}{3}) + (2x - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(2x + \frac{\pi}{3}) - (2x - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$

Подставим эти значения в формулу, и неравенство примет вид:

$2 cos(2x) cos(\frac{\pi}{3}) > -\frac{1}{2}$

Зная, что $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 cos(2x) \cdot \frac{1}{2} > -\frac{1}{2}$

$cos(2x) > -\frac{1}{2}$

Решим это неравенство. Сделаем замену $t = 2x$, тогда $cos(t) > -\frac{1}{2}$.

Корнями уравнения $cos(t) = -\frac{1}{2}$ являются $t = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На тригонометрической окружности значения косинуса (абсциссы) больше $-\frac{1}{2}$ соответствуют дуге, расположенной между углами $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, решение для $t$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.