Номер 27.55, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

27.55. a) $1 - \cos x = 2 \sin \frac{x}{2};$

в) $1 + \cos x = 2 \cos \frac{x}{2};$

б) $1 - \cos x = \sin x \sin \frac{x}{2};$

г) $\sin x = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}(1 + \cos x).$

а) Исходное уравнение: $1 - \cos x = 2 \sin\frac{x}{2}$.

Воспользуемся формулой понижения степени (или формулой косинуса двойного угла): $1 - \cos x = 2 \sin^2\frac{x}{2}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2 \sin^2\frac{x}{2} = 2 \sin\frac{x}{2}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и разделим на 2:

$\sin^2\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\sin\frac{x}{2}$ за скобки:

$\sin\frac{x}{2} \left(\sin\frac{x}{2} - 1\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $\sin\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z - множество целых чисел)

$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin\frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \sin\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $1 - \cos x = \sin x \sin\frac{x}{2}$.

Используем формулы половинного и двойного угла: $1 - \cos x = 2 \sin^2\frac{x}{2}$ и $\sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$.

Подставляем их в уравнение:

$2 \sin^2\frac{x}{2} = \left(2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}\right) \sin\frac{x}{2}$

$2 \sin^2\frac{x}{2} = 2 \sin^2\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$

Перенесем все в левую часть:

$2 \sin^2\frac{x}{2} - 2 \sin^2\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin^2\frac{x}{2}$ за скобки:

$2 \sin^2\frac{x}{2} \left(1 - \cos\frac{x}{2}\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $\sin^2\frac{x}{2} = 0 \implies \sin\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \pi k \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $1 - \cos\frac{x}{2} = 0 \implies \cos\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = 2\pi n \implies x = 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия решений ($x = 4\pi n$) является подмножеством первой серии ($x = 2\pi k$), так как любое число вида $4\pi n$ можно представить в виде $2\pi k$, взяв $k=2n$. Таким образом, все решения описываются одной формулой.

Ответ: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $1 + \cos x = 2 \cos\frac{x}{2}$.

Воспользуемся формулой понижения степени: $1 + \cos x = 2 \cos^2\frac{x}{2}$.

Подставим это выражение в уравнение:

$2 \cos^2\frac{x}{2} = 2 \cos\frac{x}{2}$

Перенесем все в левую часть и разделим на 2:

$\cos^2\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos\frac{x}{2}$ за скобки:

$\cos\frac{x}{2} \left(\cos\frac{x}{2} - 1\right) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos\frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \cos\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = 2\pi n \implies x = 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений являются независимыми.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin x = \tg^2\frac{x}{2} (1 + \cos x)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется существованием тангенса: $\cos\frac{x}{2} \ne 0$, что означает $\frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \ne \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем тригонометрические формулы: $\sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$, $\tg^2\frac{x}{2} = \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}$ и $1 + \cos x = 2 \cos^2\frac{x}{2}$.

Подставим их в уравнение:

$2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} \cdot \left(2 \cos^2\frac{x}{2}\right)$

С учетом ОДЗ ($\cos\frac{x}{2} \ne 0$), мы можем сократить $\cos^2\frac{x}{2}$ в правой части:

$2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} = 2 \sin^2\frac{x}{2}$

Перенесем все в левую часть и разделим на 2:

$\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\sin\frac{x}{2}$:

$\sin\frac{x}{2} \left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right) = 0$

Получаем два случая:

1) $\sin\frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \pi n \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(\frac{2\pi n}{2}) = \cos(\pi n) = \pm 1 \ne 0$.

2) $\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 0$

$\sin\frac{x}{2} = \cos\frac{x}{2}$. Разделим обе части на $\cos\frac{x}{2}$ (мы знаем, что он не равен нулю из ОДЗ):

$\tg\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.