Номер 27.52, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.52. a) $4 \sin x + \sin 2x = 0, x \in [0; 2\pi];$

б) $\cos^2 \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0, x \in \left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right].$

а) $4 \sin x + \sin 2x = 0$, $x \in [0; 2\pi]$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$4 \sin x + 2 \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:

$2 \sin x (2 + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$:

При $n=0$, $x = 0$.

При $n=1$, $x = \pi$.

При $n=2$, $x = 2\pi$.

2) $2 + \cos x = 0 \implies \cos x = -2$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинуса $[-1; 1]$.

Таким образом, решения исходного уравнения на заданном отрезке — это $0, \pi, 2\pi$.

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

б) $\cos^2(3x + \frac{\pi}{4}) - \sin^2(3x + \frac{\pi}{4}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$, $x \in [\frac{3\pi}{4}; \pi]$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Пусть $\alpha = 3x + \frac{\pi}{4}$.

Тогда уравнение принимает вид:

$\cos(2(3x + \frac{\pi}{4})) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\cos(6x + \frac{\pi}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Используем формулу приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha$:

$-\sin(6x) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\sin(6x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается в виде совокупности двух серий:

$6x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$6x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$ из каждой серии:

1) $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$

2) $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{4}; \pi]$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$:

$\frac{3\pi}{4} \le \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3} \le \pi$

$\frac{3}{4} \le \frac{1}{18} + \frac{n}{3} \le 1$

$\frac{27}{36} \le \frac{2+12n}{36} \le \frac{36}{36}$

$27 \le 2 + 12n \le 36$

$25 \le 12n \le 34$

$\frac{25}{12} \le n \le \frac{34}{12}$

$2\frac{1}{12} \le n \le 2\frac{10}{12}$

В этом промежутке нет целых значений $n$.

Для второй серии $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$:

$\frac{3\pi}{4} \le \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3} \le \pi$

$\frac{3}{4} \le \frac{1}{9} + \frac{k}{3} \le 1$

$\frac{27}{36} \le \frac{4+12k}{36} \le \frac{36}{36}$

$27 \le 4 + 12k \le 36$

$23 \le 12k \le 32$

$\frac{23}{12} \le k \le \frac{32}{12}$

$1\frac{11}{12} \le k \le 2\frac{8}{12}$

Единственное целое значение в этом промежутке — $k=2$.

Найдем соответствующий корень: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}$.

Этот корень принадлежит заданному отрезку, так как $\frac{3\pi}{4} = \frac{27\pi}{36}$ и $\frac{7\pi}{9} = \frac{28\pi}{36}$, а $\pi = \frac{36\pi}{36}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{9}$.