Номер 27.48, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.48. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$:

а) $\cos 2x + 3 \sin x = 1$;

б) $\sin^2 x = -\cos 2x$;

в) $\cos 2x = \cos^2 x$;

г) $\cos 2x = 2 \sin^2 x$.

Для решения уравнения $cos 2x + 3 sin x = 1$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $cos 2x = 1 - 2 sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции.

Подставим формулу в исходное уравнение:

$(1 - 2 sin^2 x) + 3 sin x = 1$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$1 - 2 sin^2 x + 3 sin x - 1 = 0$

$-2 sin^2 x + 3 sin x = 0$

Умножим на -1 и вынесем $sin x$ за скобки:

$2 sin^2 x - 3 sin x = 0$

$sin x (2 sin x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $sin x = 0$. Общее решение этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2 sin x - 3 = 0$, что означает $sin x = \frac{3}{2}$. Это уравнение не имеет действительных решений, так как $-1 \le sin x \le 1$.

Теперь отберем корни из серии $x = \pi n$, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$. Для этого решим неравенство $0 \le \pi n \le 2\pi$, что эквивалентно $0 \le n \le 2$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=0, n=1, n=2$.

При $n=0: x = 0$.

При $n=1: x = \pi$.

При $n=2: x = 2\pi$.

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

Решим уравнение $sin^2 x = -cos 2x$. Применим формулу косинуса двойного угла $cos 2x = 1 - 2 sin^2 x$.

$sin^2 x = -(1 - 2 sin^2 x)$

$sin^2 x = -1 + 2 sin^2 x$

$sin^2 x - 2 sin^2 x = -1$

$-sin^2 x = -1$

$sin^2 x = 1$

Отсюда следует, что $sin x = 1$ или $sin x = -1$.

1. Если $sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $sin x = -1$, то $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$. Решим неравенство $0 \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le 2\pi$.

Разделим на $\pi$: $0 \le \frac{1}{2} + n \le 2$.

Вычтем $\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2} \le n \le \frac{3}{2}$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=0, n=1$.

При $n=0: x = \frac{\pi}{2}$.

При $n=1: x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.

Для решения уравнения $cos 2x = cos^2 x$ используем формулу $cos 2x = 2 cos^2 x - 1$.

$2 cos^2 x - 1 = cos^2 x$

$2 cos^2 x - cos^2 x = 1$

$cos^2 x = 1$

Отсюда $cos x = 1$ или $cos x = -1$.

1. Если $cos x = 1$, то $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $cos x = -1$, то $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Общее решение можно записать как $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$. Решим неравенство $0 \le \pi n \le 2\pi$, что эквивалентно $0 \le n \le 2$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=0, n=1, n=2$.

При $n=0: x = 0$.

При $n=1: x = \pi$.

При $n=2: x = 2\pi$.

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

Решим уравнение $cos 2x = 2 sin^2 x$. Снова используем формулу $cos 2x = 1 - 2 sin^2 x$.

$1 - 2 sin^2 x = 2 sin^2 x$

$1 = 4 sin^2 x$

$sin^2 x = \frac{1}{4}$

Отсюда $sin x = \frac{1}{2}$ или $sin x = -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно и найдем корни на отрезке $[0; 2\pi]$.

1. Для $sin x = \frac{1}{2}$ корни на указанном отрезке: $x_1 = \frac{\pi}{6}$ (первая четверть) и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (вторая четверть).

2. Для $sin x = -\frac{1}{2}$ корни на указанном отрезке: $x_3 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ (третья четверть) и $x_4 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ (четвертая четверть).

Объединяем все найденные корни.

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$.