Номер 27.18, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.18. Упростите выражение $\sqrt{1 - \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t}$, если:

а) $t \in \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right];$

б) $t \in \left[ \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right];$

В) $t \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right];$

Г) $t \in \left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right].$

Для упрощения выражения $\sqrt{1 - \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t}$ воспользуемся тригонометрическими формулами понижения степени, которые являются следствиями из формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos 2t = 2\sin^2 t$ и $1 + \cos 2t = 2\cos^2 t$.

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$\sqrt{2\sin^2 t} + \sqrt{2\cos^2 t}$

По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, поэтому выражение принимает вид:

$\sqrt{2}|\sin t| + \sqrt{2}|\cos t| = \sqrt{2}(|\sin t| + |\cos t|)$

Дальнейшее упрощение заключается в раскрытии модулей, что зависит от знаков $\sin t$ и $\cos t$ в указанных промежутках.

В этом промежутке, соответствующем второй координатной четверти, синус неотрицателен ($\sin t \ge 0$), а косинус неположителен ($\cos t \le 0$). Поэтому $|\sin t| = \sin t$ и $|\cos t| = -\cos t$. Подставляя эти значения в общее упрощенное выражение, получаем: $\sqrt{2}(\sin t + (-\cos t)) = \sqrt{2}(\sin t - \cos t)$. Ответ: $\sqrt{2}(\sin t - \cos t)$.

В этом промежутке, соответствующем четвертой координатной четверти, синус неположителен ($\sin t \le 0$), а косинус неотрицателен ($\cos t \ge 0$). Поэтому $|\sin t| = -\sin t$ и $|\cos t| = \cos t$. Подставляя эти значения, получаем: $\sqrt{2}(-\sin t + \cos t) = \sqrt{2}(\cos t - \sin t)$. Ответ: $\sqrt{2}(\cos t - \sin t)$.

В этом промежутке, соответствующем первой координатной четверти, и синус, и косинус неотрицательны ($\sin t \ge 0$, $\cos t \ge 0$). Поэтому $|\sin t| = \sin t$ и $|\cos t| = \cos t$. Подставляя эти значения, получаем: $\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$. Ответ: $\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$.

В этом промежутке, соответствующем третьей координатной четверти, и синус, и косинус неположительны ($\sin t \le 0$, $\cos t \le 0$). Поэтому $|\sin t| = -\sin t$ и $|\cos t| = -\cos t$. Подставляя эти значения, получаем: $\sqrt{2}(-\sin t - \cos t) = -\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$. Ответ: $-\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$.