Номер 27.12, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.12. а) $\frac{\cos 2t}{\sin t \cos t + \sin^2 t} = \operatorname{ctg}(\pi + t) - 1;$

б) $\frac{\sin 2t - 2 \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) - \sin^2 t} = -2 \operatorname{ctg} t;$

в) $(\operatorname{ctg} t - \operatorname{tg} t) \sin 2t = 2 \cos 2t;$

г) $\frac{1 - \cos 2t + \sin 2t}{1 + \cos 2t + \sin 2t} \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = 1.$

а) Докажем тождество $ \frac{\cos 2t}{\sin t \cos t + \sin^2 t} = \mathrm{ctg}(\pi + t) - 1 $.
Сначала упростим правую часть, используя формулу приведения: $ \mathrm{ctg}(\pi + t) = \mathrm{ctg} \, t $.
Таким образом, правая часть равна $ \mathrm{ctg} \, t - 1 $.
Теперь преобразуем левую часть. В числителе применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t $, а в знаменателе вынесем $ \sin t $ за скобки:
$ \frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\sin t (\cos t + \sin t)} $
Разложим числитель по формуле разности квадратов: $ \cos^2 t - \sin^2 t = (\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t) $.
Получаем дробь:
$ \frac{(\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)}{\sin t (\cos t + \sin t)} $
Сократим дробь на $ (\cos t + \sin t) $ (при условии, что $ \cos t + \sin t \neq 0 $):
$ \frac{\cos t - \sin t}{\sin t} $
Разделим почленно числитель на знаменатель:
$ \frac{\cos t}{\sin t} - \frac{\sin t}{\sin t} = \mathrm{ctg} \, t - 1 $
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $ \frac{\sin 2t - 2 \sin(\frac{\pi}{2} - t)}{\cos(\frac{\pi}{2} - t) - \sin^2 t} = -2 \mathrm{ctg} \, t $.
Преобразуем левую часть. Применим формулы приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t $ и $ \cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin t $:
$ \frac{\sin 2t - 2 \cos t}{\sin t - \sin^2 t} $
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $ и вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
$ \frac{2 \sin t \cos t - 2 \cos t}{\sin t(1 - \sin t)} = \frac{2 \cos t (\sin t - 1)}{\sin t (1 - \sin t)} $
Вынесем в знаменателе минус за скобку, чтобы получить одинаковые выражения:
$ \frac{2 \cos t (\sin t - 1)}{-\sin t (\sin t - 1)} $
Сократим дробь на $ (\sin t - 1) $ (при условии, что $ \sin t \neq 1 $):
$ \frac{2 \cos t}{-\sin t} = -2 \frac{\cos t}{\sin t} = -2 \mathrm{ctg} \, t $
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $ (\mathrm{ctg} \, t - \mathrm{tg} \, t) \sin 2t = 2 \cos 2t $.
Преобразуем левую часть. Запишем котангенс и тангенс через синус и косинус:
$ \left( \frac{\cos t}{\sin t} - \frac{\sin t}{\cos t} \right) \sin 2t $
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$ \left( \frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\sin t \cos t} \right) \sin 2t $
В числителе дроби в скобках находится формула косинуса двойного угла $ \cos 2t $, а в знаменателе — выражение, связанное с синусом двойного угла: $ \sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin 2t $.
Подставим эти формулы:
$ \frac{\cos 2t}{\frac{1}{2}\sin 2t} \cdot \sin 2t = \frac{2 \cos 2t}{\sin 2t} \cdot \sin 2t $
Сократим на $ \sin 2t $ (при условии, что $ \sin 2t \neq 0 $):
$ 2 \cos 2t $
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Докажем тождество $ \frac{1 - \cos 2t + \sin 2t}{1 + \cos 2t + \sin 2t} \cdot \mathrm{tg}(\frac{\pi}{2} - t) = 1 $.
Преобразуем левую часть. Используем формулы двойного угла в виде $ 1 - \cos 2t = 2 \sin^2 t $ и $ 1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t $, а также $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $. По формуле приведения $ \mathrm{tg}(\frac{\pi}{2} - t) = \mathrm{ctg} \, t $.
Подставим выражения в дробь:
$ \frac{2 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t}{2 \cos^2 t + 2 \sin t \cos t} \cdot \mathrm{ctg} \, t $
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе дроби:
$ \frac{2 \sin t (\sin t + \cos t)}{2 \cos t (\cos t + \sin t)} \cdot \mathrm{ctg} \, t $
Сократим дробь на $ 2 $ и на $ (\sin t + \cos t) $ (при условии, что они не равны нулю):
$ \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \mathrm{ctg} \, t $
Так как $ \frac{\sin t}{\cos t} = \mathrm{tg} \, t $, получаем:
$ \mathrm{tg} \, t \cdot \mathrm{ctg} \, t $
Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1 (при условии, что угол $ t $ не является кратным $ \frac{\pi}{2} $, чтобы тангенс и котангенс были определены).
$ \mathrm{tg} \, t \cdot \frac{1}{\mathrm{tg} \, t} = 1 $
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.