Номер 27.16, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.16. a) $ \cos x \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \sin x} $;

б) $ \cos x \cos 2x \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \sin x} $;

в) $ \sin x \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \cos x} $;

г) $ \sin x \cos 2x \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \cos x} $.

а) Чтобы доказать тождество $ \cos x \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \sin x} $, преобразуем левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) правой части требует, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $ \sin x \neq 0 $.
Умножим и разделим левую часть на $ 2 \sin x $:
$ \cos x \cos 2x = \frac{2 \sin x \cos x \cos 2x}{2 \sin x} $
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, заменим $ 2 \sin x \cos x $ на $ \sin 2x $:
$ \frac{(2 \sin x \cos x) \cos 2x}{2 \sin x} = \frac{\sin 2x \cos 2x}{2 \sin x} $
Еще раз применим ту же формулу для числителя. Так как $ \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x $, то $ \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x $:
$ \frac{\frac{1}{2} \sin 4x}{2 \sin x} = \frac{\sin 4x}{4 \sin x} $
Мы привели левую часть тождества к правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $ \cos x \cos 2x \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \sin x} $, преобразуем левую часть. ОДЗ: $ \sin x \neq 0 $.
Умножим и разделим левую часть на $ 2 \sin x $ и последовательно применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \cos x \cos 2x \cos 4x = \frac{2 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x}{2 \sin x} $
$ = \frac{(2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x}{2 \sin x} = \frac{\sin 2x \cos 2x \cos 4x}{2 \sin x} $
$ = \frac{\frac{1}{2}(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x}{2 \sin x} = \frac{\frac{1}{2} \sin 4x \cos 4x}{2 \sin x} = \frac{\sin 4x \cos 4x}{4 \sin x} $
$ = \frac{\frac{1}{2}(2 \sin 4x \cos 4x)}{4 \sin x} = \frac{\frac{1}{2} \sin 8x}{4 \sin x} = \frac{\sin 8x}{8 \sin x} $
Левая часть тождества приведена к правой.
Ответ: тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $ \sin x \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \cos x} $, преобразуем правую часть. ОДЗ: $ \cos x \neq 0 $.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x $:
$ \frac{\sin 4x}{4 \cos x} = \frac{2 \sin 2x \cos 2x}{4 \cos x} = \frac{\sin 2x \cos 2x}{2 \cos x} $
Теперь применим формулу $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ \frac{(2 \sin x \cos x) \cos 2x}{2 \cos x} $
Сокращаем $ 2 \cos x $ в числителе и знаменателе (это возможно, так как по ОДЗ $ \cos x \neq 0 $):
$ \sin x \cos 2x $
Правая часть тождества приведена к левой.
Ответ: тождество доказано.

г) Чтобы доказать тождество $ \sin x \cos 2x \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \cos x} $, преобразуем правую часть. ОДЗ: $ \cos x \neq 0 $.
Последовательно применяя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, начиная с $ \sin 8x $:
$ \frac{\sin 8x}{8 \cos x} = \frac{2 \sin 4x \cos 4x}{8 \cos x} = \frac{\sin 4x \cos 4x}{4 \cos x} $
$ = \frac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x}{4 \cos x} = \frac{\sin 2x \cos 2x \cos 4x}{2 \cos x} $
$ = \frac{(2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x}{2 \cos x} $
Сокращаем $ 2 \cos x $ в числителе и знаменателе (по ОДЗ $ \cos x \neq 0 $):
$ \sin x \cos 2x \cos 4x $
Правая часть тождества приведена к левой.
Ответ: тождество доказано.