Номер 26.27, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.27. а) $3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) = 2;$

б) $2 \cos^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \left(\pi - \frac{x}{2}\right) \cos \left(2\pi - \frac{x}{2}\right) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3;$

в) $4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3} \sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \sin (\pi + x) + 3 \cos^2 (\pi + x) = 3;$

г) $3 \sin^2 \left(x - \frac{3\pi}{2}\right) - 2 \cos \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \cos (\pi + x) + 2 \sin^2 (x - \pi) = 2.$

а) $3\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = 2$

Используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$. Тогда $\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = \cos\frac{x}{2}$.

Уравнение принимает вид:

$3\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Для его решения заменим 2 на $2(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2})$:

$3\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2\sin^2\frac{x}{2} + 2\cos^2\frac{x}{2}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(3\sin^2\frac{x}{2} - 2\sin^2\frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2} = 0$

$\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2} = 0$

Разделим обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{2}$, предполагая, что $\cos\frac{x}{2} \neq 0$. Если $\cos\frac{x}{2} = 0$, то $\sin^2\frac{x}{2} = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 + 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos\frac{x}{2} \neq 0$.

$\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} + \frac{\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} - \frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}} = 0$

$\tan^2\frac{x}{2} + \tan\frac{x}{2} - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan\frac{x}{2}$. Получим квадратное уравнение $t^2 + t - 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan\frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan\frac{x}{2} = -2 \implies \frac{x}{2} = \arctan(-2) + \pi n \implies x = -2\arctan(2) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -2\arctan(2) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos^2\frac{x}{2} - 3\sin(\pi - \frac{x}{2})\cos(2\pi - \frac{x}{2}) + 7\sin^2\frac{x}{2} = 3$

Применим формулы приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ и $\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$.

$\sin(\pi - \frac{x}{2}) = \sin\frac{x}{2}$

$\cos(2\pi - \frac{x}{2}) = \cos\frac{x}{2}$

Подставим в исходное уравнение:

$2\cos^2\frac{x}{2} - 3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + 7\sin^2\frac{x}{2} = 3$

Заменим 3 на $3(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2})$:

$2\cos^2\frac{x}{2} - 3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + 7\sin^2\frac{x}{2} = 3\sin^2\frac{x}{2} + 3\cos^2\frac{x}{2}$

Перенесем все в левую часть:

$(7\sin^2\frac{x}{2} - 3\sin^2\frac{x}{2}) - 3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + (2\cos^2\frac{x}{2} - 3\cos^2\frac{x}{2}) = 0$

$4\sin^2\frac{x}{2} - 3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2} = 0$

Разделим обе части на $\cos^2\frac{x}{2}$ (проверка $\cos\frac{x}{2} \neq 0$ аналогична пункту а):

$4\tan^2\frac{x}{2} - 3\tan\frac{x}{2} - 1 = 0$

Пусть $t = \tan\frac{x}{2}$. Уравнение $4t^2 - 3t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25$.

$t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} = \frac{3 \pm 5}{8}$.

Корни: $t_1 = \frac{8}{8} = 1$ и $t_2 = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan\frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan\frac{x}{2} = -\frac{1}{4} \implies \frac{x}{2} = \arctan(-\frac{1}{4}) + \pi n \implies x = -2\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -2\arctan(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $4\cos^2(\frac{\pi}{2} + x) + \sqrt{3}\sin(\frac{3\pi}{2} - x)\sin(\pi + x) + 3\cos^2(\pi + x) = 3$

Упростим выражение с помощью формул приведения:

$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x \implies \cos^2(\frac{\pi}{2} + x) = \sin^2 x$

$\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x$

$\sin(\pi + x) = -\sin x$

$\cos(\pi + x) = -\cos x \implies \cos^2(\pi + x) = \cos^2 x$

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$4\sin^2 x + \sqrt{3}(-\cos x)(-\sin x) + 3\cos^2 x = 3$

$4\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 3$

Заменим 3 на $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$4\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$

$(4\sin^2 x - 3\sin^2 x) + \sqrt{3}\sin x \cos x + (3\cos^2 x - 3\cos^2 x) = 0$

$\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x(\sin x + \sqrt{3}\cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$. Разделим на $\cos x \neq 0$:

$\tan x + \sqrt{3} = 0 \implies \tan x = -\sqrt{3}$

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $3\sin^2(x - \frac{3\pi}{2}) - 2\cos(\frac{3\pi}{2} + x)\cos(\pi + x) + 2\sin^2(x - \pi) = 2$

Применим формулы приведения:

$\sin(x - \frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2} - x)) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -(-\cos x) = \cos x \implies \sin^2(x - \frac{3\pi}{2}) = \cos^2 x$

$\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$

$\cos(\pi + x) = -\cos x$

$\sin(x - \pi) = \sin(-(\pi - x)) = -\sin(\pi - x) = -\sin x \implies \sin^2(x - \pi) = \sin^2 x$

Подставим в уравнение:

$3\cos^2 x - 2(\sin x)(-\cos x) + 2\sin^2 x = 2$

$3\cos^2 x + 2\sin x \cos x + 2\sin^2 x = 2$

Заменим 2 на $2(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$3\cos^2 x + 2\sin x \cos x + 2\sin^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$

$(3\cos^2 x - 2\cos^2 x) + 2\sin x \cos x + (2\sin^2 x - 2\sin^2 x) = 0$

$\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x(\cos x + 2\sin x) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x + 2\sin x = 0$. Разделим на $\cos x \neq 0$:

$1 + 2\tan x = 0 \implies \tan x = -\frac{1}{2}$

$x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n \implies x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.