Номер 26.21, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

26.21. a) $2 \cos (2\pi + x) + \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3;$

б) $\sin (\pi + x) + 2 \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3;$

в) $2 \sin (\pi + x) + \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\frac{1}{2};$

г) $3 \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) - \cos (2\pi + x) = 1.$

а) Исходное уравнение: $2 \cos(2\pi + x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3$.
Применим формулы приведения. Функция косинус имеет период $2\pi$, поэтому $\cos(2\pi + x) = \cos(x)$.
Для $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$ используем правило: так как угол $\frac{\pi}{2} + x$ находится во второй координатной четверти, где синус положителен, и аргумент содержит $\frac{\pi}{2}$, то функция меняется на кофункцию (косинус). Таким образом, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$2 \cos(x) + \cos(x) = 3$
$3 \cos(x) = 3$
$\cos(x) = 1$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sin(\pi + x) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3$.
Применим формулы приведения.
Для $\sin(\pi + x)$: угол $\pi + x$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен, функция не меняется. Следовательно, $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$.
Для $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$: угол $\frac{\pi}{2} + x$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, функция меняется на синус. Следовательно, $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)$.
Подставим в уравнение:
$-\sin(x) + 2(-\sin(x)) = 3$
$-\sin(x) - 2\sin(x) = 3$
$-3\sin(x) = 3$
$\sin(x) = -1$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $2 \sin(\pi + x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\frac{1}{2}$.
Применим формулы приведения.
Как и в предыдущем пункте, $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$.
Для $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$: угол $\frac{\pi}{2} - x$ находится в первой четверти, где косинус положителен, функция меняется на синус. Следовательно, $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)$.
Подставим в уравнение:
$2(-\sin(x)) + \sin(x) = -\frac{1}{2}$
$-2\sin(x) + \sin(x) = -\frac{1}{2}$
$-\sin(x) = -\frac{1}{2}$
$\sin(x) = \frac{1}{2}$
Это уравнение имеет две серии решений:
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Их можно объединить в одну формулу: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - \cos(2\pi + x) = 1$.
Применим формулы приведения.
Как и в пункте а), $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)$ и $\cos(2\pi + x) = \cos(x)$.
Подставим в уравнение:
$3 \cos(x) - \cos(x) = 1$
$2 \cos(x) = 1$
$\cos(x) = \frac{1}{2}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.