Номер 26.19, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.19. a) $\frac{\operatorname{tg} 380^{\circ} + \operatorname{tg} 25^{\circ}}{\operatorname{tg} 225^{\circ} + \operatorname{ctg} 290^{\circ} \operatorname{ctg} 65^{\circ}}$

б) $\frac{\operatorname{tg} \frac{19\pi}{36} - \operatorname{tg} \frac{7\pi}{36}}{\sqrt{3} \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{3} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{36} \operatorname{ctg} \frac{11\pi}{36}}$

а)

Рассмотрим выражение: $ \frac{\tg 380^\circ + \tg 25^\circ}{\tg 225^\circ + \ctg 290^\circ \ctg 65^\circ} $.

Для решения задачи упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

1. Преобразуем числитель. Используем свойство периодичности тангенса ($ \tg(\alpha + 360^\circ) = \tg \alpha $):

$ \tg 380^\circ = \tg (360^\circ + 20^\circ) = \tg 20^\circ $.

Таким образом, числитель принимает вид: $ \tg 20^\circ + \tg 25^\circ $.

2. Преобразуем знаменатель. Упростим каждый член в знаменателе:

$ \tg 225^\circ = \tg (180^\circ + 45^\circ) = \tg 45^\circ = 1 $.

$ \ctg 290^\circ = \ctg (270^\circ + 20^\circ) = -\tg 20^\circ $.

$ \ctg 65^\circ = \ctg (90^\circ - 25^\circ) = \tg 25^\circ $.

Подставим полученные значения в знаменатель:

$ \tg 225^\circ + \ctg 290^\circ \ctg 65^\circ = 1 + (-\tg 20^\circ)(\tg 25^\circ) = 1 - \tg 20^\circ \tg 25^\circ $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$ \frac{\tg 20^\circ + \tg 25^\circ}{1 - \tg 20^\circ \tg 25^\circ} $.

Полученное выражение является формулой тангенса суммы углов: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $.

В данном случае $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 25^\circ $.

Следовательно, значение выражения равно:

$ \tg(20^\circ + 25^\circ) = \tg 45^\circ = 1 $.

Ответ: 1.

б)

Рассмотрим выражение: $ \frac{\tg \frac{19\pi}{36} - \tg \frac{7\pi}{36}}{\sqrt{3} \ctg \frac{7\pi}{3} - \ctg \frac{\pi}{36} \ctg \frac{11\pi}{36}} $.

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Преобразуем числитель, используя формулы приведения.

$ \tg \frac{19\pi}{36} = \tg(\frac{18\pi + \pi}{36}) = \tg(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{36}) = -\ctg \frac{\pi}{36} $.

$ \tg \frac{7\pi}{36} = \tg(\frac{18\pi - 11\pi}{36}) = \tg(\frac{\pi}{2} - \frac{11\pi}{36}) = \ctg \frac{11\pi}{36} $.

Подставим преобразованные значения в числитель:

$ -\ctg \frac{\pi}{36} - \ctg \frac{11\pi}{36} = -(\ctg \frac{\pi}{36} + \ctg \frac{11\pi}{36}) $.

2. Преобразуем знаменатель. Сначала упростим первое слагаемое $ \sqrt{3} \ctg \frac{7\pi}{3} $.

Используем периодичность котангенса ($ \ctg(\alpha + 2\pi k) = \ctg \alpha, k \in \mathbb{Z} $):

$ \frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} $.

$ \ctg \frac{7\pi}{3} = \ctg(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Таким образом, первое слагаемое равно $ \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 $.

Теперь знаменатель имеет вид: $ 1 - \ctg \frac{\pi}{36} \ctg \frac{11\pi}{36} $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{-(\ctg \frac{\pi}{36} + \ctg \frac{11\pi}{36})}{1 - \ctg \frac{\pi}{36} \ctg \frac{11\pi}{36}} $.

Вынесем знак минус из знаменателя:

$ \frac{-(\ctg \frac{\pi}{36} + \ctg \frac{11\pi}{36})}{-(\ctg \frac{\pi}{36} \ctg \frac{11\pi}{36} - 1)} = \frac{\ctg \frac{\pi}{36} + \ctg \frac{11\pi}{36}}{\ctg \frac{\pi}{36} \ctg \frac{11\pi}{36} - 1} $.

Полученное выражение является обратным к формуле котангенса суммы углов $ \ctg(\alpha + \beta) = \frac{\ctg \alpha \ctg \beta - 1}{\ctg \alpha + \ctg \beta} $. Следовательно, оно равно $ \tg(\alpha+\beta) $.

В нашем случае $ \alpha = \frac{\pi}{36} $ и $ \beta = \frac{11\pi}{36} $.

Значение выражения равно:

$ \tg(\frac{\pi}{36} + \frac{11\pi}{36}) = \tg(\frac{12\pi}{36}) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $.

Ответ: $ \sqrt{3} $.