Номер 26.15, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

26.15. a) $\frac{2 \cos \frac{11\pi}{5} + 8 \sin \frac{13\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5}}$

б) $\frac{5 \sin \frac{5\pi}{7} + 2 \cos \frac{25\pi}{14}}{\sin \frac{2\pi}{7}}$

а)

Упростим выражение $ \frac{2 \cos \frac{11\pi}{5} + 8 \sin \frac{13\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5}} $.

Сначала преобразуем тригонометрические функции в числителе, используя формулы приведения.

Для $ \cos \frac{11\pi}{5} $:
$ \frac{11\pi}{5} = \frac{10\pi + \pi}{5} = 2\pi + \frac{\pi}{5} $.
Поскольку функция косинус имеет период $ 2\pi $, то $ \cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha) $.
Следовательно, $ \cos \frac{11\pi}{5} = \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{5}\right) = \cos \frac{\pi}{5} $.

Для $ \sin \frac{13\pi}{10} $:
$ \frac{13\pi}{10} = \frac{10\pi + 3\pi}{10} = \pi + \frac{3\pi}{10} $.
Используем формулу приведения $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \sin \frac{13\pi}{10} = \sin \left(\pi + \frac{3\pi}{10}\right) = -\sin \frac{3\pi}{10} $.
Теперь воспользуемся формулой $ \sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, чтобы выразить $ \sin \frac{3\pi}{10} $ через косинус.
$ \sin \frac{3\pi}{10} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}\right) = \cos\left(\frac{5\pi - 3\pi}{10}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{10}\right) = \cos \frac{\pi}{5} $.
Таким образом, $ \sin \frac{13\pi}{10} = -\cos \frac{\pi}{5} $.

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$ \frac{2 \cos \frac{\pi}{5} + 8 \left(-\cos \frac{\pi}{5}\right)}{\cos \frac{\pi}{5}} = \frac{2 \cos \frac{\pi}{5} - 8 \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} $.

Выполним вычисления в числителе:
$ \frac{-6 \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} $.

Так как $ \cos \frac{\pi}{5} \neq 0 $, мы можем сократить дробь на $ \cos \frac{\pi}{5} $:
$ -6 $.

Ответ: -6.

б)

Упростим выражение $ \frac{5 \sin \frac{5\pi}{7} + 2 \cos \frac{25\pi}{14}}{\sin \frac{2\pi}{7}} $.

Преобразуем тригонометрические функции в числителе.

Для $ \sin \frac{5\pi}{7} $:
Представим $ \frac{5\pi}{7} $ как $ \pi - \frac{2\pi}{7} $.
Используя формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $, получаем:
$ \sin \frac{5\pi}{7} = \sin\left(\pi - \frac{2\pi}{7}\right) = \sin \frac{2\pi}{7} $.

Для $ \cos \frac{25\pi}{14} $:
Представим $ \frac{25\pi}{14} $ как $ \frac{28\pi - 3\pi}{14} = 2\pi - \frac{3\pi}{14} $.
Используем формулу $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $:
$ \cos \frac{25\pi}{14} = \cos\left(2\pi - \frac{3\pi}{14}\right) = \cos \frac{3\pi}{14} $.
Теперь воспользуемся формулой $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, чтобы выразить $ \cos \frac{3\pi}{14} $ через синус.
$ \cos \frac{3\pi}{14} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{14}\right) = \sin\left(\frac{7\pi - 3\pi}{14}\right) = \sin\left(\frac{4\pi}{14}\right) = \sin \frac{2\pi}{7} $.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:
$ \frac{5 \sin \frac{2\pi}{7} + 2 \sin \frac{2\pi}{7}}{\sin \frac{2\pi}{7}} $.

Сложим слагаемые в числителе:
$ \frac{7 \sin \frac{2\pi}{7}}{\sin \frac{2\pi}{7}} $.

Так как $ \sin \frac{2\pi}{7} \neq 0 $, мы можем сократить дробь на $ \sin \frac{2\pi}{7} $:
$ 7 $.

Ответ: 7.